Периметр треугольника DEF = 180 см. В треугольнике DEF провели среднюю линию OP так, что OP || DF. В полученном треугольнике OEP провели среднюю линию RS так, что RS || EO.…

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно. Подготовим решение, которое поможет понять, как работать с средними линиями и подобиями в треугольниках.

---

Исходные данные:

• Периметр треугольника \( DEF = 180 \) см.
• В треугольнике \( DEF \) проведена средняя линия \( OP \), такая, что \( OP \parallel DF \).
• В новом треугольнике \( OEP \) проведена средняя линия \( RS \), такая, что \( RS \parallel EO \).

Нужно найти периметр треугольника \( RSP \).

---

Шаг 1. Понимание среднего линии \( OP \)

В треугольнике \( DEF \):

• Средняя линия \( OP \) проведена так, что \( OP \parallel DF \).
• Средняя линия в треугольнике — это отрезок, соединяющий середины двух сторон, и он равен половине третьей стороны.

Следовательно:

• \( O \) — середина одной стороны \( DE \).
• \( P \) — середина другой стороны \( EF \).
• Тогда \( OP \parallel DF \), и \( OP = \frac{1}{2} DF \).

---

Шаг 2. Построение треугольника \( OEP \)

Теперь рассмотрим треугольник \( OEP \):

• \( O \) — середина \( DE \),
• \( P \) — середина \( EF \),
• \( OP \) — средняя линия \( DEE \) треугольника и равна половине \( DF \).

---

Шаг 3. Построение средней линии \( RS \) в треугольнике \( OEP \)

В треугольнике \( OEP \):

• Проведена средняя линия \( RS \), которая параллельна \( EO \).
• \( R \), \( S \) — середины сторон \( OP \) и \( EP \) соответствено.
• Тогда \( RS \parallel EO \) и \( RS = \frac{1}{2} EO \).

---

Шаг 4. Связь сторон и подобие треугольников

Обратите внимание:

• Средняя линия \( OP \) в \( DEF \) соединяет середины \( D E \) и \( E F \) — получается, что \( OP \) — это половина стороны \( DF \).

• В треугольнике \( OEP \):

  • \( R \) — середина \( OP \),
  • \( S \) — середина \( EP \),
  • \( RS \parallel EO \),
  • \( RS = \frac{1}{2} EO \).

Это говорит о том, что треугольники \( RSP \) и \( EOP \) связаны по подобию, так как:

• \( R \) и \( S \) — середины сторон,
• и \( RS \parallel EO \).

---

Шаг 5. Анализ сторон

Нас интересует периметр \( RSP \).

Обозначим стороны:

• \( EF \) — исходная сторона.
• \( DF \) — исходная сторона.
• \( DE \) — исходная сторона.

Из условий:

\[ OP = \frac{1}{2} DF \]

так как \( OP \parallel DF \) и \( OP \) — средняя линия.

Также:

\[ RS = \frac{1}{2} EO \]

и \( EO \parallel OP \).

---

Шаг 6. Связь периметра

Заметим, что:

• \( OP \) — половина \( DF \),
• \( RS \) — половина \( EO \).

В треугольнике \( DEF \):

\[ P_{DEF} = DE + EF + FD = 180 \text{ см} \]

Периметры в меньших треугольниках связаны пропорционально.

---

Шаг 7. Итоговая связь

• \( R \), \( S \), \( P \) — середины определенных сторон или точек на линиях, создающих подобие.

За счет того, что \( RS \parallel EO \), и оба связаны с половинными сегментами, сумма длин треугольника \( RSP \):

\[ P_{RSP} = RS + SP + PR \]

где:

• \( RS \) — половина \( EO \),
• стороны \( SP \), \( PR \) связаны с половинами сторон исходного треугольника.

Это выражение похоже на вычисление подобного треугольника с масштабом \( \frac{1}{2} \).

---

Ключевой вывод:

Между исходным треугольником \( DEF \) и треугольниками, образованными средними линиями, существует масштабное соотношение \( \frac{1}{2} \).

Следовательно:

\[ \boxed{ \text{Периметр } RSP = \frac{1}{2} \times \text{Периметр } DEF = \frac{1}{2} \times 180 = 90 \text{ см} } \]

---

Ответ:

Периметр треугольника \( RSP \) равен 90 см.

Если нужно более строгое построение или пояснения, скажите, я подготовлю подробный чертеж или объяснение.