Реши 6е уравнение

Привет! Давай попробуем вместе решить 6-е уравнение из твоего домашнего задания. Уравнение выглядит так:

\[ \log_{3}^{2}{x} - \log_{3}{x} - 6 = 0 \]

Это квадратичное уравнение относительно \(\log_{3}{x}\). Сначала давай обозначим \(\log_{3}{x} = y\), тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 6 = 0 \]

Теперь нужно решить получившееся квадратное уравнение. Сначала найдём его корни. Для этого можем применить метод разложения на множители. Ищем такие два числа, которые при умножении дают -6, а при сложении (-1). Это числа -3 и 2.

Разложение на множители будет выглядеть так:

\[ (y - 3)(y + 2) = 0 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( y - 3 = 0 \), откуда \( y = 3 \),
2. \( y + 2 = 0 \), откуда \( y = -2 \).

Но мы помним, что \( y \) это \(\log_{3}{x}\), так что теперь решаем два уравнения относительно x:

1. \( \log_{3}{x} = 3 \) - перепишем это уравнение в экспоненциальной форме: \( 3^3 = x \), откуда \( x = 27 \).

2. \( \log_{3}{x} = -2 \) - также перепишем в экспоненциальной форме: \( 3^{-2} = x \), откуда ( x = \frac{1}{9