Два маленьких шарика массами m_{1} = 20 г и m_{2} = 14 г подвешены на невесомых нерастяжимых нитях одинаковой длины l = 68 см так, что поверхности шариков соприкасаются. Нить, на…
Два маленьких шарика массами m_{1} = 20 г и m_{2} = 14 г подвешены на невесомых нерастяжимых нитях одинаковой длины l = 68 см так, что поверхности шариков соприкасаются. Нить, на которой подвешен первый шарик, отклонили от вертикали на угола alpha = 60° отпустили ее без начальной скорости. В нижней точке траектории шарики столкну-лись. Если после неупругого столкновения шарики стали двигаться как единое целое, то максимальная потенциальная энергия Епах, кото рой они достигли, равна ... мДж.
Давайте разберем задачу пошагово и подробно объясним каждое измерение и вычисление.
Дано:
- Массы шариков: \[ m_1 = 20\,г = 0{,}02\,кг,\quad m_2 = 14\,г = 0{,}014\,кг \]
- Длина нитей: \[ l = 68\,см = 0{,}68\,м \]
- Начальный отклонение первого шарика от вертикали: \[ \alpha = 60^\circ \]
- Шары изначально неподвижны, и шарик 1 отклоняется и отпускается без начальной скорости. В конце -> при столкновении шарики движутся как единое целое (неупругое столкновение).
Шаг 1. Определим начальную потенциальную энергию шарика 1
Когда шарик отклонен на угол \(\alpha\), его потенциальная энергия (по сравнению с нижним положением) равна:
\[ \Delta h = l - l \cos \alpha = l (1 - \cos \alpha) \]
Потенциальная энергия:
\[ E_{p_1} = m_1 g \Delta h = m_1 g l (1 - \cos \alpha) \]
Подставим числовые значения:
\[ \cos 60^\circ = 0{,}5 \]
\[ E_{p_1} = 0{,}02 \times 9{,}8 \times 0{,}68 (1 - 0{,}5) \]
Вычисляем:
\[ E_{p_1} = 0.02 \times 9.8 \times 0.68 \times 0.5 \]
\[ E_{p_1} = 0.02 \times 9.8 \times 0.34 \]
\[ E_{p_1} = 0.02 \times 3.332 \approx 0.0666\, \Дж \]
Шаг 2. На момент достижения нижней точки кинетическая энергия шарика 1:
При спуске без потерь вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую:
\[ E_{k_1} = E_{p_1} \approx 0.0666\,Дж \]
Кинетическая энергия:
\[ E_{k_1} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \]
Тогда:
\[ v_1 = \sqrt{\frac{2 E_{k_1}}{m_1}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.0666}{0.02}} \]
Вычислим:
\[ v_1 = \sqrt{\frac{0.1332}{0.02}} = \sqrt{6.66} \approx 2.58\,м/с \]
На этом этапе шарик 1 имеет скорость около 2.58 м/с, а шарик 2 неподвижен.
Шаг 3. В момент столкновения
- Шары соприкасаются в нижней точке, где оба имеют скорости. В момент столкновения шарики движутся навстречу друг другу (шарик 2 — неподвижен, а шарик 1 — летит со скоростью \(v_1\)).
Поскольку шарики соприкасаются во время столкновения, и оно неупругое:
- Массы: \(m_1\) и \(m_2\).
- Скорость после столкновения \(v_f\) для обоих (единая скорость). По закону сохранения импульса:
\[ m_1 v_1 + m_2 \times 0 = (m_1 + m_2) v_f \]
Следовательно:
\[ v_f = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \]
\[ v_f = \frac{0.02 \times 2.58}{0.02 + 0.014} = \frac{0.0516}{0.034} \approx 1.52\,м/с \]
Шаг 4. Максимальная потенциальная энергия после столкновения
Когда шарики движутся как единое целое со скоростью \(v_f \approx 1.52\,м/с\):
Они поднимаются вверх (по принципу сохранения энергии), достигая максимальной высоты, где кинетическая энергия превращается в потенциальную.
Потенциальная энергия при этой высоте:
\[ E_{p,\text{max}} = (m_1 + m_2) g h \]
- В начальный момент после столкновения кинетическая энергия:
\[ E_{k,\text{после}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_f^2 \]
Потенциальная энергия в самой верхней точке равна этой:
\[ E_{p,\text{max}} = E_{k,\text{после}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_f^2 \]
Подставим:
\[ E_{p,\text{max}} = \frac{1}{2} \times 0.034 \times (1.52)^2 \]
Вычисляем:
\[ E_{p,\text{max}} = 0.017 \times 2.31 \approx 0.0393\,Дж \]
Итог:
Переведем в миллиджоули:
\[ 0.0393\,Дж = 39.3\,мДж \]
Ответ:
Максимальная потенциальная энергия, достигаемая после столкновения, равна примерно \(\boxed{39\,мДж}\).
