Давайте разберем задачу пошагово и подробно объясним каждое измерение и вычисление.
Дано:
- Массы шариков:
[
m_1 = 20,г = 0{,}02,кг,\quad m_2 = 14,г = 0{,}014,кг
]
- Длина нитей:
[
l = 68,см = 0{,}68,м
]
- Начальный отклонение первого шарика от вертикали:
[
\alpha = 60^\circ
]
- Шары изначально неподвижны, и шарик 1 отклоняется и отпускается без начальной скорости. В конце -> при столкновении шарики движутся как единое целое (неупругое столкновение).
Шаг 1. Определим начальную потенциальную энергию шарика 1
Когда шарик отклонен на угол (\alpha), его потенциальная энергия (по сравнению с нижним положением) равна:
[
\Delta h = l - l \cos \alpha = l (1 - \cos \alpha)
]
Потенциальная энергия:
[
E_{p_1} = m_1 g \Delta h = m_1 g l (1 - \cos \alpha)
]
Подставим числовые значения:
[
\cos 60^\circ = 0{,}5
]
[
E_{p_1} = 0{,}02 \times 9{,}8 \times 0{,}68 (1 - 0{,}5)
]
Вычисляем:
[
E_{p_1} = 0.02 \times 9.8 \times 0.68 \times 0.5
]
[
E_{p_1} = 0.02 \times 9.8 \times 0.34
]
[
E_{p_1} = 0.02 \times 3.332 \approx 0.0666, \Дж
]
Шаг 2. На момент достижения нижней точки кинетическая энергия шарика 1:
При спуске без потерь вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую:
[
E_{k_1} = E_{p_1} \approx 0.0666,Дж
]
Кинетическая энергия:
[
E_{k_1} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2
]
Тогда:
[
v_1 = \sqrt{\frac{2 E_{k_1}}{m_1}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.0666}{0.02}}
]
Вычислим:
[
v_1 = \sqrt{\frac{0.1332}{0.02}} = \sqrt{6.66} \approx 2.58,м/с
]
На этом этапе шарик 1 имеет скорость около 2.58 м/с, а шарик 2 неподвижен.
Шаг 3. В момент столкновения
- Шары соприкасаются в нижней точке, где оба имеют скорости. В момент столкновения шарики движутся навстречу друг другу (шарик 2 — неподвижен, а шарик 1 — летит со скоростью (v_1)).
Поскольку шарики соприкасаются во время столкновения, и оно неупругое:
- Массы: (m_1) и (m_2).
- Скорость после столкновения (v_f) для обоих (единая скорость). По закону сохранения импульса:
[
m_1 v_1 + m_2 \times 0 = (m_1 + m_2) v_f
]
Следовательно:
[
v_f = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}
]
[
v_f = \frac{0.02 \times 2.58}{0.02 + 0.014} = \frac{0.0516}{0.034} \approx 1.52,м/с
]
Шаг 4. Максимальная потенциальная энергия после столкновения
Когда шарики движутся как единое целое со скоростью (v_f \approx 1.52,м/с):
Они поднимаются вверх (по принципу сохранения энергии), достигая максимальной высоты, где кинетическая энергия превращается в потенциальную.
Потенциальная энергия при этой высоте:
[
E_{p,\text{max}} = (m_1 + m_2) g h
]
- В начальный момент после столкновения кинетическая энергия:
[
E_{k,\text{после}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_f^2
]
Потенциальная энергия в самой верхней точке равна этой:
[
E_{p,\text{max}} = E_{k,\text{после}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_f^2
]
Подставим:
[
E_{p,\text{max}} = \frac{1}{2} \times 0.034 \times (1.52)^2
]
Вычисляем:
[
E_{p,\text{max}} = 0.017 \times 2.31 \approx 0.0393,Дж
]
Итог:
Переведем в миллиджоули:
[
0.0393,Дж = 39.3,мДж
]
Ответ:
Максимальная потенциальная энергия, достигаемая после столкновения, равна примерно (\boxed{39,мДж}).
