В прямом параллелепипеде стороны основания 1 см и 2 см образуют угол 30°. боковая поверхность равна 16 см². найдите его объем

Давайте разберём задачу по шагам и подробно объясним решение.

Дано:

• В основании прямого параллелепипеда стороны: \( a = 1\, \text{см} \), \( b = 2\, \text{см} \).
• Угол между сторонами основания: \( 30^\circ \).
• Площадь боковой поверхности: \( S_b = 16\, \text{см}^2 \).

Найти: объем параллелепипеда \( V \).

Шаг 1: Определим тип основания

Это не классический прямоугольный параллелепипед, поскольку в основании есть угол \( 30^\circ \).
Значит, основание — наклонная фигура, где стороны \( a \) и \( b \) образуют угол \( 30^\circ \).

В этом случае, основание — это ромб или параллелограмм?

• Если стороны \( a \) и \( b \) — это стороны параллелограмма, то их угол — не обязательно прямой.

Шаг 2: Вычислим площадь основания

Площадь основания, которое является параллелограммом со сторонами \( a = 1\, \text{см} \), \( b = 2\, \text{см} \), и внутренним углом \( 30^\circ \):

\[ S_{осн} = a \times b \times \sin \theta = 1 \times 2 \times \sin 30^\circ \]

Знаем, что:
\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]

Тогда:
\[ S_{осн} = 1 \times 2 \times \frac{1}{2} = 1\, \text{см}^2 \]

Шаг 3: Определение боковой поверхности

Боковая поверхность — это сумма площадей всех боковых граней. В прямом параллелепипеде боковые грани — это параллелограммы, у которых две стороны — высота \( h \) и основания.

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей всех боковых граней:

\[ S_b = 2 \times (S_1 + S_2) \]

Но проще:

• Каждая боковая грань — параллелограмм, образованный стороной основания и высотой \( h \).

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней.

Если основание — параллелограмм с сторонами \( a \) и \( b \), угол \( \theta \), то боковые грани, ортогональные к этим сторонам, имеют площади:

• Грани, перпендикулярные стороне \( a \): \( a \times h \)
• Грани, перпендикулярные стороне \( b \): \( b \times h \)

Площадь боковой поверхности равна сумме этих двух пар граней:

\[ S_b = 2 \times a \times h + 2 \times b \times h = 2h (a + b) \]

Подставляем известные значения:

\[ 16 = 2 h (1 + 2) = 2 h \times 3 = 6 h \]

Отсюда:

\[ h = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \text{см} \]

Шаг 4: Вычисление объема

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту \( h \):

\[ V = S_{осн} \times h = 1 \times \frac{8}{3} = \frac{8}{3} \text{см}^3 \]

Итог:

Объем параллелепипеда равен \( \boxed{\frac{8}{3}\, \text{см}^3} \).