Рассмотрим задачу: найти ускорение свободного падения (g) на высоте, равной половине радиуса Земли.
Для начала вспомним формулу для ускорения свободного падения на расстоянии r от центра Земли:
[
g(r) = \frac{GM}{r^2}
]
где:
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( M ) — масса Земли,
- ( r ) — расстояние от центра Земли до искомой точки.
Также известно, что на поверхности Земли:
[
g_0 = \frac{GM}{R^2}
]
где:
- ( R ) — радиус Земли,
- ( g_0 ) — ускорение свободного падения на поверхности (~9.8 м/с²).
Шаг 1: Выразим ( g(r) ) через ( g_0 ):
Поскольку ( g_0 = \frac{GM}{R^2} ), то:
[
g(r) = \frac{GM}{r^2} = g_0 \frac{R^2}{r^2}
]
Шаг 2: Определим ( r ):
Высота ( h ) равна половине радиуса Земли:
[
h = \frac{R}{2}
]
Тогда расстояние от центра Земли:
[
r = R + h = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}
]
Шаг 3: Подставим ( r ) в формулу:
[
g(r) = g_0 \frac{R^2}{\left(\frac{3R}{2}\right)^2}
]
Считаем знаменатель:
[
\left(\frac{3R}{2}\right)^2 = \frac{9R^2}{4}
]
поэтому:
[
g(r) = g_0 \frac{R^2}{\frac{9R^2}{4}} = g_0 \times \frac{R^2}{1} \times \frac{4}{9R^2} = g_0 \times \frac{4}{9}
]
Итог:
[
\boxed{
g \approx g_0 \times \frac{4}{9}
}
]
Подставим числовое значение ( g_0 \approx 9.8 \ \text{м/с}^2 ):
[
g \approx 9.8 \times \frac{4}{9} \approx 9.8 \times 0.444 \approx 4.36 \ \text{м/с}^2
]
Итюда:
На высоте, равной половине радиуса Земли, ускорение свободного падения примерно равно 4.36 м/с².
