чему равно ускорение свободного падения на высоте равной половине радиуса земли?
Рассмотрим задачу: найти ускорение свободного падения (g) на высоте, равной половине радиуса Земли.
Для начала вспомним формулу для ускорения свободного падения на расстоянии r от центра Земли:
\[ g(r) = \frac{GM}{r^2} \]
где:
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( M \) — масса Земли,
- \( r \) — расстояние от центра Земли до искомой точки.
Также известно, что на поверхности Земли:
\[ g_0 = \frac{GM}{R^2} \]
где:
- \( R \) — радиус Земли,
- \( g_0 \) — ускорение свободного падения на поверхности (~9.8 м/с²).
Шаг 1: Выразим \( g(r) \) через \( g_0 \):
Поскольку \( g_0 = \frac{GM}{R^2} \), то:
\[ g(r) = \frac{GM}{r^2} = g_0 \frac{R^2}{r^2} \]
Шаг 2: Определим \( r \):
Высота \( h \) равна половине радиуса Земли:
\[ h = \frac{R}{2} \]
Тогда расстояние от центра Земли:
\[ r = R + h = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2} \]
Шаг 3: Подставим \( r \) в формулу:
\[ g(r) = g_0 \frac{R^2}{\left(\frac{3R}{2}\right)^2} \]
Считаем знаменатель:
\[ \left(\frac{3R}{2}\right)^2 = \frac{9R^2}{4} \]
поэтому:
\[ g(r) = g_0 \frac{R^2}{\frac{9R^2}{4}} = g_0 \times \frac{R^2}{1} \times \frac{4}{9R^2} = g_0 \times \frac{4}{9} \]
Итог:
\[ \boxed{ g \approx g_0 \times \frac{4}{9} } \]
Подставим числовое значение \( g_0 \approx 9.8 \ \text{м/с}^2 \):
\[ g \approx 9.8 \times \frac{4}{9} \approx 9.8 \times 0.444 \approx 4.36 \ \text{м/с}^2 \]
Итюда:
На высоте, равной половине радиуса Земли, ускорение свободного падения примерно равно 4.36 м/с².
