Бросают игральный кубик и подбрасывают монету.Событие А:выросло четное число и орёл ,событие В:выпало число меньше 4 или решка найдите Р(A U B).
Давайте пошагово решим задачу и найдём вероятность события \( P(A \cup B) \).
Шаг 1. Определение ситуации
У нас есть два эксперимента:
- Бросают игральный кубик. Возможные исходы — число от 1 до 6.
- Подбрасывают монету. Возможные исходы — Орёл (О) или Решка (Р).
Обозначим события:
- \( A \): Вырастает чётное число на кубике и выпадает Орёл.
- \( B \): Выпало число меньше 4 или выпала Решка.
Шаг 2. Анализ событий
Событие \( A \):
- Чётное число на кубике: 2, 4, 6.
- Выпал Орёл: окрицу монеты.
*: Поскольку события кубика и монеты независимы, вероятность их совместного наступления — произведение вероятностей.
Событие \( B \):
- Выпало число меньше 4: 1, 2, 3.
- Или Решка на монете.
Обратите внимание: событие \( B \) — "число меньше 4 или Решка", то есть:
\[ B = \{\text{число} < 4\} \cup \{\text{Решка}\} \]
Шаг 3. Вероятности
Кубик:
- Каждое число от 1 до 6 — с вероятностью \( \frac{1}{6} \).
Монета:
- Орёл или Решка — с вероятностью \( \frac{1}{2} \).
Шаг 4. Вычисление вероятностей отдельных событий
Для \( A \):
- Вероятность броска чётного числа: \( P(\text{чётное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
- Вероятность выпадения Орла: \( \frac{1}{2} \).
Значит,
\[ P(A) = P(\text{чётное}) \times P(\text{Орёл}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Для \( B \):
Число меньше 4: 1, 2, 3 — с вероятностью \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
Решка: вероятность \( \frac{1}{2} \).
Так как объединение, нужно найти вероятность \( P(B) \):
\[ P(B) = P(\text{число} < 4) + P(\text{Решка}) - P(\text{число} < 4 \text{ и Решка}) \]
Это складывание вероятностей, минус вероятность пересечения, так как эти события не исключают друг друга.
- Вероятность того, что число < 4 и выпала Решка: произведение вероятностей, так как события независимы:
\[ P(\text{число} < 4 \text{ и Решка}) = P(\text{число} < 4) \times P(\text{Решка}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Тогда:
\[ P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
Шаг 5. Находим \( P(A \cup B) \)
По формуле объединения двух событий:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Нужно найти \( P(A \cap B) \).
Шаг 6. Вычисление \( P(A \cap B) \)
Это вероятность того, что одновременно:
- Выпало чётное число и Орёл (событие \( A \))
- И число меньше 4 или Решка (событие \( B \)).
Обратим внимание:
- В событии \( A \): число на кубике должно быть 2, 4 или 6, и монета — Орёл.
- В событии \( B \): либо число меньше 4 (1, 2, 3), либо Решка.
Чтобы совпадать с \( A \), нужно, чтобы число было 2 или 4 (чётные), и при этом монета — Орёл.
Теперь разберём, когда события \( A \) и \( B \) пересекаются:
Если число 2 (чётное, и меньше 4), тогда:
- Выпало число 2 и Орёл (по \( A \));
- И число меньше 4 (по \( B \));
- И монета — Орёл (по \( A \)).
Если число 4 (чётное) и Орёл — то:
- Число 4 и Орёл;
- Число не меньше 4, то есть оно равно 4 или 6; 4 соответствует числу меньше 4? Нет. Поэтому в этом случае событие \( B \) "число меньше 4" — не выполнено, но "выпало Решка" — возможно.
Число 6 (чётное), Орёл —:
- Число 6, которое не меньше 4, события не пересекаются через условие "число меньше 4", но условие "выпало Решка" — как раз подходит. Но для \( A \) нам нужен Орёл, и число 6 — чётное, так что событие \( A \) возможно.
Подытожим:
В \( A \cap B \):
Число 2, Орёл: число меньше 4 (подходит под \( B \)), число — 2 (меньше 4), и Орёл.
Число 4, Орёл: число — 4 (не меньше 4), и Орёл, значит "число меньше 4" — не выполнено, но условие "или Решка" — не входит, поскольку Орёл не Решка. Значит, в этом случае событие \( B \) — да, потому что "или Решка", а у нас Орёл. Но условие — "выпало число меньше 4 или Решка", так что в случае с 4 и Орёл — \( B \) выполняется, потому что ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЕ условие "или Решка", для события \( B \).
Число 6, Орёл: число — 6, не меньше 4, но Монета — Орёл, значит условие "или Решка" — выполнено, поэтому \( B \) — выполнено.
Итак, возможные исходы в пересечении:
- (число 2, Орёл)
- (число 4, Орёл)
- (число 6, Орёл)
Все эти исходы подходят.
Шаг 7. Вероятность \( P(A \cap B) \)
Все три исхода — при условии, что кубик — одно из указанных чисел, а монета — Орёл.
Вероятность каждого из:
- Кубик — конкретное число: \( \frac{1}{6} \).
- Монета — Орёл: \( \frac{1}{2} \).
Общее:
\[ P(\text{конкретный исход}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \]
Три исхода: сумма вероятностей — это:
\[ P(A \cap B) = 3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
Финальный ответ:
\[ \boxed{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} } \]
Ответ:
\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
Вероятность того, что случится событие \(A\) или событие \(B\), равна 3/4.
