Рассмотрим неравенство:
8x² - 72x + 144 > 0
Шаг 1. Заметим, что все члены можно вынести за скобку.
Обратим внимание, что в каждом слагаемом есть множитель 8:
8(x² - 9x + 18) > 0
Делим обе части на 8 (поскольку это положительный множитель, знак не меняется):
x² - 9x + 18 > 0
Теперь решаем неравенство:
x² - 9x + 18 > 0
Шаг 2. Найдём корни уравнения:
x² - 9x + 18 = 0
Используем дискриминант:
D = (-9)² - 4118 = 81 - 72 = 9
Корни:
x = [9 ± √9] / (2)
x = [9 ± 3] / 2
Получаем два корня:
x₁ = (9 - 3) / 2 = 6 / 2 = 3
x₂ = (9 + 3) / 2 = 12 / 2 = 6
Шаг 3. Определяем знаки квадратичной функции:
Парабола открывается вверх (коэффициент при x² > 0), значит:
- На интервалах слева от меньшего корня (x < 3)
- Между корнями (3 < x < 6)
- Справа от большего корня (x > 6)
Функция положительна там, где она лежит выше оси Ox, то есть, там, где неравенство строго > 0.
Так как парабола открывается вверх, она будет положительна вне интервала между корнями.
Значит:
x² - 9x + 18 > 0, когда
x < 3 или x > 6
ИТОГ:
Для исходного неравенства:
8x² - 72x + 144 > 0
Ответ:
x ∈ (-∞; 3) ∪ (6; +∞)
Если нужно, можно записать через интервалы: x принадлежит объединению интервалов (-∞, 3) и (6, +∞).
