Дана прямоугольная трапеция ABCD  (угол А=90°), в которую вписана окружность радиусом 12 см. сторона CD  равна 38см. найди среднюю линию трапеции

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним все моменты. **Условие:** - Трапеция ABCD, в которой угол А = 90° - Вписана окружность радиусом 12 см - Дана сторона CD = 38 см - Нужно найти среднюю линию трапеции --- ### Шаг 1: Визуализация и ключевые факты - Так как угол А = 90°, то точка A — это угол прямой. - Вписанная окружность касается всех четырёх сторон, следовательно, трапеция является так называемой **вписанной тругольной** (или **касательной трапецией**). ### Шаг 2: Свойства вписанной окружности (которая касается всех сторон) Если трапеция содержит вписанную окружность, то сумма длин её непараллельных сторон равна сумме длин параллельных сторон. Обозначим: - \( AB = x \) - \( AD = y \) - Параллельные стороны: \( AB \) и \( CD \) Из условия: \[ AD + BC = AB + CD \] (Это условие для трапеции с вписанной окружностью.) Но поскольку A — это прямой угол, то: \[ \angle A = 90^\circ \] Следовательно, стороны \( AB \) и \( AD \) — это катеты прямого угла. --- ### Шаг 3: Анализум радиуса окружности Радиус вписанной окружности \( r = 12 \) см. Для трапеции с вписанной окружностью и прямым углом в А, есть важное свойство: - Вписанная окружность касается сторон и имеет радиус, равный перпендикулярному расстоянию от центра окружности до любой стороны. - Радиус равен расстоянию от центра вписанной окружности до любой из касательных сторон. --- ### Шаг 4: Расстояние до сторон и их положения Поскольку \( \angle A = 90^\circ \), точка A — это вершина прямого угла, а стороны \( AB \) и \( AD \) — это катеты. Обозначим: - \( AB = x \) - \( AD = y \) Тогда: - \( BC \) — это боковая сторона, которую нужно найти. Известно, что сторона \( CD = 38 \) см. --- ### Шаг 5: Используем условие равенства суммы сторон Согласно условию о вписанной окружности: \[ AD + BC = AB + CD \] или \[ y + BC = x + 38 \] (Уравнение 1) --- ### Шаг 6: Используем радиус окружности Рассмотрим треугольник \( ABC \). Так как \( \angle A = 90^\circ \), то по Пифагору: \[ AB^2 + AD^2 = BC^2 \] или \[ x^2 + y^2 = BC^2 \] (Уравнение 2) --- ### Шаг 7: Связь между сторонами и радиусом Радиус окружности равен 12 см, и он касается сторон, образуя касательные. Вписанная окружность касается сторон, находящихся на расстоянии 12 см от центра окружности. Поскольку радиус — это расстояние от центра до любой стороны, и оно равно 12 см, можно вывести, что центр окружности находится внутри трапеции, и радиус — расстояние от центра до любой из касательных сторон. --- ### Шаг 8: Оценка положения окружности относительно сторон Учитывая, что \( \angle A = 90^\circ \), и \( A \) — это вершина прямого угла, то: - Сторона \( AB \) — горизонтальна, - Сторона \( AD \) — вертикальна. Обозначим длины: - \( AB = x \) - \( AD = y \) - \( BC \) — боковая сторона. Поскольку стороны \( AB \) и \( DC \) — параллельны, а \( AD \) — перпендикулярна \( AB \), то трапеция — прямоугольная, и: - \( AB \) — горизонталь - \( AD \) — вертикаль Параллельная сторона \( CD \) находится на расстоянии \( y \) от \( AB \), так как \( AD \) — высота. --- ### Шаг 9: Построение координат Рассмотрим координаты: - \( A = (0, 0) \), - \( B = (x, 0) \), - \( D = (0, y) \), - \( C = (x, y) \). Тогда: - сторона \( CD \) — горизонтальная, \( C = (x, y) \), \( D = (0, y) \). Но по условию, \( CD = 38 \) см, значит: \[ |x - 0| = 38 \Rightarrow x = 38 \] Теперь: - \( A = (0, 0) \), - \( B = (38, 0) \), - \( D = (0, y) \), - \( C = (38, y) \). --- ### Шаг 10: Проверка стороны \( BC \) - \( B = (38, 0) \), - \( C = (38, y) \). Расстояние \( BC \): \[ BC = |y - 0| = y \] Также, по Пифагору для \( AB \): \[ AB = 38 \] (так как \( B \) — на горизонтальной оси, а \( A \) в начале координат) И сторона \( AD \): \[ AD = y \] --- ### Шаг 11: Использование уравнения равенства сторон Из уравнения 1: \[ AD + BC = AB + CD \] подставляем известные значения: \[ y + y = 38 + 38 \] \[ 2y = 76 \] \[ y = 38 \] --- ### Шаг 12: Окончательные размеры Теперь: - \( AD = y = 38 \) см, - \( BC = y = 38 \) см, - \( AB = 38 \) см, - \( CD = 38 \) см. Это значит, что трапеция — равнобочная прямоугольная трапеция с основаниями по 38 см. --- ### Шаг 13: Проверка радиуса окружности Радиус врашения \( r = 12 \) см, центр окружности должен находиться внутри трапеции на расстоянии 12 см от любой стороны. Вписанная окружность касается всех сторон, ее центр находится внутри. - Высота трапеции: \( y = 38 \), - Радиус: 12 см. Расстояние от центра окружности до любой стороны равно 12 см, а высоты (расстояния между параллельными сторонами) равны 38 см. Поскольку высота больше радиуса, окружность поместится внутри. --- ### **Вопрос: найти среднюю линию трапеции** Средняя линия собирается как полусумма оснований: \[ \text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2} \] Подставляем значения: \[ \frac{38 + 38}{2} = \frac{76}{2} = 38 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** **Средняя линия трапеции равна 38 см.**