В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат. Найди объём параллелепипеда, если его диагональ равна 12 и составляет с плоскостью основания угол в 60°

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все вычисления. **Дано:** - Основание — квадрат. - Диагональ параллелепипеда — 12. - Угол между диагональю и плоскостью основания — 60°. Нам нужно найти объём параллелепипеда. --- ### Шаг 1. Обозначения и обозначения (схемы) Обозначим: - \( a \) — сторона квадрата основания. - \( h \) — высота параллелепипеда. - \( d \) — пространственная диагональ параллелепипеда (по условию, 12). Параллелепипед — прямой, значит, его диагональ соединяет противоположные вершины и проходит через три измерения: длину, ширину и высоту. --- ### Шаг 2. Связь между диагональю и сторонами параллелепипеда Для прямого параллелепипеда диагональ вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}. \] По условию \( d = 12 \), значит: \[ 12 = \sqrt{2a^2 + h^2}. \] Возьмем в квадрат обе части: \[ 12^2 = 2a^2 + h^2, \] или \[ 144 = 2a^2 + h^2. \quad (1) \] --- ### Шаг 3. Связь между диагональю и углом к основанию Диагональ образует с плоскостью основания угол в 60°. Этот угол — это угол между пространственной диагональю и плоскостью основания (плоскостью квадрата). Рассмотрим это более подробно: - Проекция диагонали на плоскость основания — это диагональ квадрата: \( \sqrt{2}a \). - Саму диагональ можно разбить на компоненты: одна лежит в плоскости основания, а другая — перпендикулярна ей (по высоте). Обозначим: - \( d \) — диагональ, - \( d_{\text{осн}} = \sqrt{2}a \) — проекция диагонали на основание, - \( h \) — высота. Поскольку угол между диагональю и плоскостью основания равен 60°, то: - Косинус этого угла равен отношению основания к длине диагонали: \[ \cos 60^\circ = \frac{\text{проекция в плоскости основания}}{\text{длина диагонали}} = \frac{\sqrt{2}a}{d}. \] Значит: \[ \frac{\sqrt{2}a}{d} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}. \] Подставим \( d = 12 \): \[ \frac{\sqrt{2}a}{12} = \frac{1}{2}. \] Отсюда: \[ \sqrt{2}a = 6, \] или \[ a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}. \] --- ### Шаг 4. Нахождение высоты \( h \) Теперь посмотрим на соотношение для оспользуя равенство (1): \[ 144 = 2a^2 + h^2. \] Подставим \( a = 3\sqrt{2} \): \[ a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18. \] Тогда: \[ 144 = 2 \times 18 + h^2 = 36 + h^2. \] Отсюда: \[ h^2 = 144 - 36 = 108, \] \[ h = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}. \] --- ### Шаг 5. Вычисление объёма Объём прямоугольного параллелепипеда: \[ V = \text{площадь основания} \times \text{высота} = a^2 \times h. \] Найдем: \[ a^2 = 18, \] \[ V = 18 \times 6\sqrt{3} = (18 \times 6) \sqrt{3} = 108 \sqrt{3}. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ V = 108\sqrt{3} } \] Объём параллелепипеда равен \( 108\sqrt{3} \) единиц кубических.