В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат. Найди объём параллелепипеда, если его диагональ равна 12 и составляет с плоскостью основания угол в 60°
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все вычисления.
Дано:
- Основание — квадрат.
- Диагональ параллелепипеда — 12.
- Угол между диагональю и плоскостью основания — 60°.
Нам нужно найти объём параллелепипеда.
Шаг 1. Обозначения и обозначения (схемы)
Обозначим:
- \( a \) — сторона квадрата основания.
- \( h \) — высота параллелепипеда.
- \( d \) — пространственная диагональ параллелепипеда (по условию, 12).
Параллелепипед — прямой, значит, его диагональ соединяет противоположные вершины и проходит через три измерения: длину, ширину и высоту.
Шаг 2. Связь между диагональю и сторонами параллелепипеда
Для прямого параллелепипеда диагональ вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}. \] По условию \( d = 12 \), значит: \[ 12 = \sqrt{2a^2 + h^2}. \] Возьмем в квадрат обе части: \[ 12^2 = 2a^2 + h^2, \] или \[ 144 = 2a^2 + h^2. \quad (1) \]
Шаг 3. Связь между диагональю и углом к основанию
Диагональ образует с плоскостью основания угол в 60°.
Этот угол — это угол между пространственной диагональю и плоскостью основания (плоскостью квадрата).
Рассмотрим это более подробно:
- Проекция диагонали на плоскость основания — это диагональ квадрата: \( \sqrt{2}a \).
- Саму диагональ можно разбить на компоненты: одна лежит в плоскости основания, а другая — перпендикулярна ей (по высоте).
Обозначим:
- \( d \) — диагональ,
- \( d_{\text{осн}} = \sqrt{2}a \) — проекция диагонали на основание,
- \( h \) — высота.
Поскольку угол между диагональю и плоскостью основания равен 60°, то:
- Косинус этого угла равен отношению основания к длине диагонали: \[ \cos 60^\circ = \frac{\text{проекция в плоскости основания}}{\text{длина диагонали}} = \frac{\sqrt{2}a}{d}. \]
Значит: \[ \frac{\sqrt{2}a}{d} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}. \]
Подставим \( d = 12 \): \[ \frac{\sqrt{2}a}{12} = \frac{1}{2}. \] Отсюда: \[ \sqrt{2}a = 6, \] или \[ a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}. \]
Шаг 4. Нахождение высоты \( h \)
Теперь посмотрим на соотношение для оспользуя равенство (1):
\[ 144 = 2a^2 + h^2. \]
Подставим \( a = 3\sqrt{2} \):
\[ a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18. \]
Тогда: \[ 144 = 2 \times 18 + h^2 = 36 + h^2. \]
Отсюда: \[ h^2 = 144 - 36 = 108, \] \[ h = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}. \]
Шаг 5. Вычисление объёма
Объём прямоугольного параллелепипеда: \[ V = \text{площадь основания} \times \text{высота} = a^2 \times h. \]
Найдем: \[ a^2 = 18, \] \[ V = 18 \times 6\sqrt{3} = (18 \times 6) \sqrt{3} = 108 \sqrt{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ V = 108\sqrt{3} } \]
Объём параллелепипеда равен \( 108\sqrt{3} \) единиц кубических.
