Рассмотрим задачу по статике рычага. Нам даны силы, приложенные к концам рычага, и положение точки опоры. Нужно найти длину всего рычага.
Дано:
- Сила ( F_1 = 15, \text{Н} )
- Сила ( F_2 = 20, \text{Н} )
- Расстояние от точки опоры до точки приложения силы ( F_1 ) — это ( d_1 )
- Расстояние до точки приложения силы ( F_2 ) — это ( d_2 )
- И известно, что ( d_1 ) на 15 см меньше, чем ( d_2 ). То есть:
[
d_2 = d_1 + 15, \text{см}
]
Рычаг находится в равновесии, значит сумма моментов (torques) равна нулю. Момент — это произведение силы на плечо, от точки опоры.
Запишем уравнение равновесия моментов относительно точки опоры:
[
F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2
]
Подставим выражение ( d_2 = d_1 + 15 ) см:
[
15 \times d_1 = 20 \times (d_1 + 15)
]
Раскроем скобки:
[
15d_1 = 20d_1 + 20 \times 15
]
Перенесём все члены с ( d_1 ) в левую сторону:
[
15d_1 - 20d_1 = 20 \times 15
]
Упростим левую часть:
[
-5d_1 = 300
]
Найдем ( d_1 ):
[
d_1 = -\frac{300}{5} = -60, \text{см}
]
Знак минус говорит о том, что в данном контексте или мы выбрали неправильную сторону для измерения, или точки приложений сил расположены противоположно предполагаемому. В задачах с рычагом обычно меряют расстояния от точки опоры — положительно. Поэтому возьмем абсолютное значение (\mathbf{d_1 = 60, \text{см}}).
Теперь найдём ( d_2 ):
[
d_2 = d_1 + 15 = 60 + 15 = 75, \text{см}
]
Длина всего рычага — это сумма двух плеч:
[
L = d_1 + d_2 = 60, \text{см} + 75, \text{см} = 135, \text{см}
]
Ответ: длина всего рычага равна 135 см.
