Две окружности касаются внутрение в точке В, АВ - диаметр большей окружности. Через точку А проведены две хорды, которые касаются меньшей окружности. Угол между хордами равен 60°.…

Давайте последовательно разберем условие задачи и найдём длины двух хорда, проведенных из точки А и касающихся меньшей окружности. Для этого применим геометрические свойства и обозначения.

Дано:

• Две окружности касаются внутри в точке В.
• АВ — диаметр большей окружности (найдём радиус).
• Через точку А проведены две касательные к меньшей окружности, которые образуют угол 60° между собой.
• Радиус меньшей окружности равен R.

---

Шаг 1. Анализ рисования и обозначения

Обозначим:

• Радиус большей окружности: \( R_{больш} \).
• Радиус меньшей окружности: \( R \).
• В точке В касаются begge окружности, причём они касаются внутри, и касаются в одной точке, которая, вероятно, лежит внутри обеих сфер и является внутренней точкой касания.

Нам известно, что \( A B \) — диаметр большей окружности, следовательно:

\[ AB = 2 R_{больш} \]

---

Шаг 2. Геометрия касания и касательных

Поскольку через точку А проведены две касательные к меньшей окружности, образующие угол 60°, и касаются они меньшей окружности, можно представить следующее:

• Пусть \( M_1 \) и \( M_2 \) — точки касания на меньшей окружности.
• Тогда от точки A к этим точкам касания проведены касательные, длины которых одинаковы, так как касательная из одной точки к окружности имеет одинаковую длину.
• Угол между касательными, исходящими из точки A, равен 60°.

---

Шаг 3. Связь между длинами касательных и радиусом

Длина касательной из точки A к окружности с радиусом R, при условии, что точка A расположена вне окружности, выражается так:

\[ d = \sqrt{AO^2 - R^2} \]

где \( AO \) — расстояние от точки А до центра меньшей окружности.

Два касательных из точки А к окружности равны по длине: \( L \).

Если проведена дуга между точками касания, то угол между радиусами, соединяющими центр меньшей окружности с точками касания, равен 180°, так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.

---

Шаг 4. Использование знания о закрепленном угле и длине касательной

Поскольку угол между касательными из точки А равен 60°, то:

• Длина касательной из А к меньшей окружности:

\[ L = \sqrt{AO^2 - R^2} \]

• Расстояние \( AO \) связано с углом между касательными и линией, соединяющей A с центром окружности.

Рассмотрим треугольник с вершинами в A, центром окружности O и точками касания M:

В этом треугольнике угол при A равен 60°, стороны из A к точкам касания — длины касательной \( L \).

---

Шаг 5. Складирование данных для нахождения длины хорды

В задаче по условию касательные к меньшей окружности из точки A образуют угол 60°, их длина связана с расстоянием \( AO \):

\[ L = \sqrt{AO^2 - R^2} \]

где \( AO \) — расстояние от точки А до центра меньшей окружности.

Так как касательные из A к меньшей окружности (расположенной внутри или вне), лежащие под углом 60°, формируют равнобедренный треугольник.

Вывод:

Длина каждого касания:

\[ L = R \tan(30^\circ) = R \times \frac{1}{\sqrt{3}} \]

так как касательные создают угол 60°, а радиус, перпендикулярный касательной, образует угол 30° с линией из A.

---

Ответ:

Длина хорд:

Длина каждой хорды, касающейся меньшей окружности, равна \( 2L \), где \( L \):

\[ L = R \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{\sqrt{3}} \]

поэтому,

\[ \boxed{ \text{Длина каждой хорды} = 2L = 2 \times \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} } \]

---

Итог:

Длина каждой из двух искомых хорд равна \(\displaystyle \frac{2 R}{\sqrt{3}}\).