Призма 1. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Большой катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найдите высоту призмы и площадь полной поверхности. Решение

Давайте разберем задачу поэтапно, учитывая, что цель — понять решение, и применим понятия геометрии для средней школы. ### Дано: - Основание призмы — прямой треугольник с гипотенузой 10 см и одним катетом 6 см. - Большой катет этого треугольника равен диагонали меньшей из боковых граней призмы. Нужно найти: - Высоту призмы \( h \), - Площадь полной поверхности призмы. --- ## Шаг 1: Находим второй катет основания Поскольку основание — прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 10 \) см и катетом \( a = 6 \) см, то второй катет \( b \) найдём по теореме Пифагора: \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \] **Итак:** основание — прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см и гипотенузой 10 см. --- ## Шаг 2: Найдем диагональ боковой грани Боковые грани — это прямоугольные «стенки» призмы, перпендикулярные основаниям. Рассмотрим меньшую боковую грань. Обычно в призме такие грани — это прямоугольники, соединяющие соответствующие стороны основания. Пусть меньшая боковая грань — это грань, соединяющая стороны длиной 6 см и высоту \( h \), то есть боковая грань имеет размеры 6 см (по основанию) и \( h \). Диагональ этой грани \( d_1 \): \[ d_1 = \sqrt{6^2 + h^2} = \sqrt{36 + h^2} \] Также нам известно: "Большой катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней", т.е.: \[ 8 = \sqrt{36 + h^2} \] Решим это уравнение для \( h \): \[ 8^2 = 36 + h^2 \Rightarrow 64 = 36 + h^2 \Rightarrow h^2 = 64 - 36 = 28 \] \[ h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см} \] **Высота призмы:** \( h = 2\sqrt{7} \) см. --- ## Шаг 3: Найти площадь полной поверхности Площадь полной поверхности призмы — это сумма площадей двух оснований и боковых поверхностей. ### Площадь основания Основание — прямоугольный треугольник со сторонами 6 и 8 см: \[ S_{основания} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ см}^2 \] Два таких основания: \[ 2 \times 24 = 48 \text{ см}^2 \] ### Площадь боковых граней Боковые грани — это прямоугольники, соединяющие соответствующие стороны основания. 1. Боковая грань, соединяющая стороны длиной 6 см: \[ S_1 = 6 \times h = 6 \times 2\sqrt{7} = 12\sqrt{7} \text{ см}^2 \] 2. Боковая грань, соединяющая стороны длиной 8 см: \[ S_2 = 8 \times h = 8 \times 2\sqrt{7} = 16\sqrt{7} \text{ см}^2 \] 3. Боковая грань, соединяющая гипотенузу 10 см: Нужно найти длину этой боковой грани. Гипотенуза в основании (чтобы соединить вершины оснований): Длина этой боковой грани равна расстоянию между вершинами, находящимися по вертикали и по гипотенузе. Это — длина боковой грани, соединяющей вершины со сторонами 6 и 8 см. Она равна длине диагонали бокового параллелепипеда, стороны которого — 10 см и высота \( h \). Диагональ: \[ d_3 = \sqrt{10^2 + h^2} = \sqrt{100 + 28} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \] Площадь боковой грани, соединяющей гипотенузы — это прямоугольник со сторонами: \( 10 \) см и \( h \): \[ S_3 = 10 \times h = 10 \times 2\sqrt{7} = 20\sqrt{7} \text{ см}^2 \] --- ## Итоговая площадь боковых граней: \[ S_{бок}= S_1 + S_2 + S_3 = 12\sqrt{7} + 16\sqrt{7} + 20\sqrt{7} = (12 + 16 + 20)\sqrt{7} = 48\sqrt{7} \text{ см}^2 \] ### Общая площадь полной поверхности: \[ S_{полн} = 2 \times S_{основания} + S_{бок} = 48 + 48\sqrt{7} \text{ см}^2 \] --- ## Итоговые ответы: - **Высота призмы:** \(\boxed{h = 2\sqrt{7} \text{ см}}\) - **Площадь полной поверхности:** \(\boxed{48 + 48\sqrt{7} \text{ см}^2}\) Если потребуется более развернутое объяснение или уточнение — обращайтесь!