Призма 1. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Большой катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых…

Давайте разберем задачу поэтапно, учитывая, что цель — понять решение, и применим понятия геометрии для средней школы.

Дано:

• Основание призмы — прямой треугольник с гипотенузой 10 см и одним катетом 6 см.
• Большой катет этого треугольника равен диагонали меньшей из боковых граней призмы.

Нужно найти:

• Высоту призмы \( h \),
• Площадь полной поверхности призмы.

Шаг 1: Находим второй катет основания

Поскольку основание — прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 10 \) см и катетом \( a = 6 \) см, то второй катет \( b \) найдём по теореме Пифагора:
\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Итак: основание — прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см и гипотенузой 10 см.

Шаг 2: Найдем диагональ боковой грани

Боковые грани — это прямоугольные «стенки» призмы, перпендикулярные основаниям.
Рассмотрим меньшую боковую грань. Обычно в призме такие грани — это прямоугольники, соединяющие соответствующие стороны основания.

Пусть меньшая боковая грань — это грань, соединяющая стороны длиной 6 см и высоту \( h \), то есть боковая грань имеет размеры 6 см (по основанию) и \( h \).
Диагональ этой грани \( d_1 \):
\[ d_1 = \sqrt{6^2 + h^2} = \sqrt{36 + h^2} \]

Также нам известно: "Большой катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней", т.е.:
\[ 8 = \sqrt{36 + h^2} \]

Решим это уравнение для \( h \):
\[ 8^2 = 36 + h^2 \Rightarrow 64 = 36 + h^2 \Rightarrow h^2 = 64 - 36 = 28 \]
\[ h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см} \]

Высота призмы: \( h = 2\sqrt{7} \) см.

Шаг 3: Найти площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности призмы — это сумма площадей двух оснований и боковых поверхностей.

Площадь основания

Основание — прямоугольный треугольник со сторонами 6 и 8 см:
\[ S_{основания} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ см}^2 \]

Два таких основания:
\[ 2 \times 24 = 48 \text{ см}^2 \]

Площадь боковых граней

Боковые грани — это прямоугольники, соединяющие соответствующие стороны основания.

1. Боковая грань, соединяющая стороны длиной 6 см:
   \[ S_1 = 6 \times h = 6 \times 2\sqrt{7} = 12\sqrt{7} \text{ см}^2 \]

2. Боковая грань, соединяющая стороны длиной 8 см:
   \[ S_2 = 8 \times h = 8 \times 2\sqrt{7} = 16\sqrt{7} \text{ см}^2 \]

3. Боковая грань, соединяющая гипотенузу 10 см:
   Нужно найти длину этой боковой грани. Гипотенуза в основании (чтобы соединить вершины оснований):
   Длина этой боковой грани равна расстоянию между вершинами, находящимися по вертикали и по гипотенузе. Это — длина боковой грани, соединяющей вершины со сторонами 6 и 8 см.
   Она равна длине диагонали бокового параллелепипеда, стороны которого — 10 см и высота \( h \).
   Диагональ:
   \[ d_3 = \sqrt{10^2 + h^2} = \sqrt{100 + 28} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \]

Площадь боковой грани, соединяющей гипотенузы — это прямоугольник со сторонами: \( 10 \) см и \( h \):
\[ S_3 = 10 \times h = 10 \times 2\sqrt{7} = 20\sqrt{7} \text{ см}^2 \]

Итоговая площадь боковых граней:

\[ S_{бок}= S_1 + S_2 + S_3 = 12\sqrt{7} + 16\sqrt{7} + 20\sqrt{7} = (12 + 16 + 20)\sqrt{7} = 48\sqrt{7} \text{ см}^2 \]

Общая площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = 2 \times S_{основания} + S_{бок} = 48 + 48\sqrt{7} \text{ см}^2 \]

Итоговые ответы:

• Высота призмы: \(\boxed{h = 2\sqrt{7} \text{ см}}\)
• Площадь полной поверхности: \(\boxed{48 + 48\sqrt{7} \text{ см}^2}\)

Если потребуется более развернутое объяснение или уточнение — обращайтесь!