Реши : (2х^2+7х-4) (х-3) ^2 / х+6 ≤ 0

Давайте подробно решим неравенство: \[ \frac{(2x^2 + 7x - 4)(x - 3)^2}{x + 6} \leq 0 \] ### Шаг 1: Анализ исходного выражения Обращаем внимание, что это рациональное неравенство, и его решение сводится к поиску знаков числителя и знаменателя. --- ### Шаг 2: Исследование условий деления - Знак выражения зависит от знаков числителя и знаменателя. - Особое внимание нужно уделить точкам, в которых выражение равно нулю или делит на ноль: - точка, где знаменатель равен нулю: \( x = -6 \) (недопустимо, поскольку деление на ноль) - нули числителя: - \( 2x^2 + 7x - 4 = 0 \) - \( (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 \) --- ### Шаг 3: Решение уравнения \(2x^2 + 7x - 4 = 0\) Используем формулу для квадратичного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где - \[ a=2, \quad b=7, \quad c=-4 \] Подставляем: \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \times 2 \times (-4)}}{2 \times 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ x = \frac{-7 \pm 9}{4} \] Два решения: - \( x = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) - \( x = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \) Итак, нули числителя: \[ x = -4, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = 3 \] --- ### Шаг 4: Разбивка на интервалии Точки, делящие число line: \[ x = -6, \quad x = -4, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x=3 \] расставим их на числовой оси и получим интервалы: \[ (-\infty, -6), \quad (-6, -4), \quad (-4, \frac{1}{2}), \quad (\frac{1}{2}, 3), \quad (3, +\infty) \] --- ### Шаг 5: Анализ знаков на каждом интервале Обозначим: - числитель: \( N(x) = (2x^2 + 7x - 4)(x-3)^2 \) - знаменатель: \( D(x) = x + 6 \) Дробь равна нулю, когда числитель равен 0, и не определена, когда знаменатель равен 0. **Особенности:** - \( (x-3)^2 \geq 0 \) и равно 0 только в \(x=3\), что делает числитель нулевым — это точка нуля, где выражение равно 0. - \(\quad 2x^2 + 7x -4=0 \Rightarrow\) нули числителя в \(x=-4\) и \(x=1/2\). --- ### Шаг 6: Определение знаков в интервалах **Проверим знак числителя:** - \( (x - 3)^2 \geq 0 \) для всех \(x\), и равно 0 только в \(x=3\). - \( 2x^2 + 7x - 4 \): - в точках нуля: \(x=-4,\, 1/2\) - в остальных интервалах знак определяется тестированием. Обозначим \(Q(x)=2x^2 +7x -4\). --- ### Шаг 7: Знаки \(Q(x)\) на интервалах - для \(x<-4\): Подставим, например, \(x=-5\): \(Q(-5) = 2 \times 25 + 7 \times (-5) -4 = 50 - 35 -4= 11>0\) - для \(-4 < x < 1/2 \): возьмём \(x=0\): \(Q(0) = -4 < 0\) - для \(x>1/2\): возьмём \(x=1\): \(Q(1)= 2 -7 -4= -9<0\) В этом случае, все равно, надо проверить далее. Проверим вблизи: - для \(x=1\): \(Q(1)=-9\), отрицательно. - для \(x>1/2 \leq 3\): например, \(x=2\): \(Q(2)=8+14-4=18>0\) Тогда: `показатель`, что \(Q(x)\) меняет знак в точке 1/2. А также в точке \(-4\), где \(Q(-4)=0\). **Общий знак \(Q(x)\):** - \(Q(x)>0\) при \(x<-4\), - \(Q(x)<0\) в интервале \((-4, 1/2)\), - \(Q(x)>0\) на \ интервале \((1/2, +\infty)\). --- ### Шаг 8: Знак \((x-3)^2\) Это всегда \(\geq 0\), и равно 0 в \(x=3\). - В точке \(x=3\): числитель 0, следовательно, вся дробь равна 0 (учитываем условие \(\leq 0\)). --- ### Шаг 9: Анализ знаков всей дроби на интервалах Рассмотрим распределение: | Интервал | \(x\) | \(Q(x)\) | \( (x - 3)^2 \) | числитель знак | Денominator \(x+6\) | знак всей дроби | комментарий | |------------|-------|-----------|------------------|----------------|---------------------|----------------|----------------------| | \(-\infty, -6\) | например \(x=-7\) | > 0 | > 0 | \(\boxed{Q(x)>0}\) | < 0 | \(\frac{+ \times +}{-} = -\) | отрицательное | | \(-6, -4\) | например \(x=-5\) | > 0 | > 0 | \(Q(x)>0\) | < 0 | \(\frac{+ \times +}{-}= -\) | отрицательное | | \(-4, 1/2\) | например \(x=0\) | < 0 | > 0 | \(Q(x)<0\) | > 0 | \(\frac{(-)\times (+)}{+} = -\) | отрицательное | | \(1/2, 3\) | например \(x=1\) | > 0 | > 0 | \(Q(x)>0\) | > 0 | \(\frac{+ \times (+)}{+} = +\) | положительное | | в точке \(x=3\) | | \(Q(3)=0\) | \(0\) | 0 | \(3+6=9\) > 0 | 0 | точка нуля | Знаки: - на \((-\infty, -6)\): дробь отрицательна - на \((-6, -4)\): отрицательна - на \((-4, 1/2)\): отрицательна - на \((1/2, 3)\): положительна - в точке \(x=3\): равно 0 --- ### **Итог:** Нам нужно найти область, где выражение \(\leq 0\). Это: - все точки, где дробь равна 0 — это \(x=-4,\, 3\) - и участки, где дробь отрицательна. Область решений: \[ \boxed{ (-\infty, -6) \cup (-6, -4] \cup (-4, 1/2) \cup \{3\} } \] Но обязательно исключим точку \(x=-6\), так как деление на ноль, там выражение не определено. Также, в интервале \((-6, -4)\), выражение отрицательно, и в точках \(-4\) и \(x=3\) равно нулю. ### Ответ: \[ \boxed{ (-\infty, -6) \cup [-4, 3] } \] **Внимание:** Включаем \(-4\) и \(3\), поскольку там выражение равно 0. --- Если нужен ещё какой-либо разбор или пояснения — скажите!