реши : (2х^2+7х-4) (х-3) ^2 / х+6 ≤ 0
Давайте подробно решим неравенство:
\[ \frac{(2x^2 + 7x - 4)(x - 3)^2}{x + 6} \leq 0 \]
Шаг 1: Анализ исходного выражения
Обращаем внимание, что это рациональное неравенство, и его решение сводится к поиску знаков числителя и знаменателя.
Шаг 2: Исследование условий деления
- Знак выражения зависит от знаков числителя и знаменателя.
- Особое внимание нужно уделить точкам, в которых выражение равно нулю или делит на ноль:
- точка, где знаменатель равен нулю: \( x = -6 \) (недопустимо, поскольку деление на ноль)
- нули числителя:
- \( 2x^2 + 7x - 4 = 0 \)
- \( (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
Шаг 3: Решение уравнения \(2x^2 + 7x - 4 = 0\)
Используем формулу для квадратичного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где - \[ a=2, \quad b=7, \quad c=-4 \]
Подставляем:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \times 2 \times (-4)}}{2 \times 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} \]
\[ x = \frac{-7 \pm 9}{4} \]
Два решения:
- \( x = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
- \( x = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \)
Итак, нули числителя:
\[ x = -4, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = 3 \]
Шаг 4: Разбивка на интервалии
Точки, делящие число line:
\[ x = -6, \quad x = -4, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x=3 \]
расставим их на числовой оси и получим интервалы:
\[ (-\infty, -6), \quad (-6, -4), \quad (-4, \frac{1}{2}), \quad (\frac{1}{2}, 3), \quad (3, +\infty) \]
Шаг 5: Анализ знаков на каждом интервале
Обозначим:
- числитель: \( N(x) = (2x^2 + 7x - 4)(x-3)^2 \)
- знаменатель: \( D(x) = x + 6 \)
Дробь равна нулю, когда числитель равен 0, и не определена, когда знаменатель равен 0.
Особенности:
- \( (x-3)^2 \geq 0 \) и равно 0 только в \(x=3\), что делает числитель нулевым — это точка нуля, где выражение равно 0.
- \(\quad 2x^2 + 7x -4=0 \Rightarrow\) нули числителя в \(x=-4\) и \(x=1/2\).
Шаг 6: Определение знаков в интервалах
Проверим знак числителя:
\( (x - 3)^2 \geq 0 \) для всех \(x\), и равно 0 только в \(x=3\).
\( 2x^2 + 7x - 4 \):
- в точках нуля: \(x=-4,\, 1/2\)
- в остальных интервалах знак определяется тестированием.
Обозначим \(Q(x)=2x^2 +7x -4\).
Шаг 7: Знаки \(Q(x)\) на интервалах
для \(x<-4\):
Подставим, например, \(x=-5\):
\(Q(-5) = 2 \times 25 + 7 \times (-5) -4 = 50 - 35 -4= 11>0\)
для \(-4 < x < 1/2 \):
возьмём \(x=0\):
\(Q(0) = -4 < 0\)
для \(x>1/2\):
возьмём \(x=1\):
\(Q(1)= 2 -7 -4= -9<0\)
В этом случае, все равно, надо проверить далее.
Проверим вблизи:
для \(x=1\): \(Q(1)=-9\), отрицательно.
для \(x>1/2 \leq 3\):
например, \(x=2\):
\(Q(2)=8+14-4=18>0\)
Тогда: показатель, что \(Q(x)\) меняет знак в точке 1/2. А также в точке \(-4\), где \(Q(-4)=0\).
Общий знак \(Q(x)\):
- \(Q(x)>0\) при \(x<-4\),
- \(Q(x)<0\) в интервале \((-4, 1/2)\),
- \(Q(x)>0\) на \ интервале \((1/2, +\infty)\).
Шаг 8: Знак \((x-3)^2\)
Это всегда \(\geq 0\), и равно 0 в \(x=3\).
- В точке \(x=3\): числитель 0, следовательно, вся дробь равна 0 (учитываем условие \(\leq 0\)).
Шаг 9: Анализ знаков всей дроби на интервалах
Рассмотрим распределение:
| Интервал | \(x\) | \(Q(x)\) | \( (x - 3)^2 \) | числитель знак | Денominator \(x+6\) | знак всей дроби | комментарий |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-\infty, -6\) | например \(x=-7\) | > 0 | > 0 | \(\boxed{Q(x)>0}\) | < 0 | \(\frac{+ \times +}{-} = -\) | отрицательное |
| \(-6, -4\) | например \(x=-5\) | > 0 | > 0 | \(Q(x)>0\) | < 0 | \(\frac{+ \times +}{-}= -\) | отрицательное |
| \(-4, 1/2\) | например \(x=0\) | < 0 | > 0 | \(Q(x)<0\) | > 0 | \(\frac{(-)\times (+)}{+} = -\) | отрицательное |
| \(1/2, 3\) | например \(x=1\) | > 0 | > 0 | \(Q(x)>0\) | > 0 | \(\frac{+ \times (+)}{+} = +\) | положительное |
| в точке \(x=3\) | \(Q(3)=0\) | \(0\) | 0 | \(3+6=9\) > 0 | 0 | точка нуля |
Знаки:
- на \((-\infty, -6)\): дробь отрицательна
- на \((-6, -4)\): отрицательна
- на \((-4, 1/2)\): отрицательна
- на \((1/2, 3)\): положительна
- в точке \(x=3\): равно 0
Итог:
Нам нужно найти область, где выражение \(\leq 0\).
Это:
- все точки, где дробь равна 0 — это \(x=-4,\, 3\)
- и участки, где дробь отрицательна.
Область решений:
\[ \boxed{ (-\infty, -6) \cup (-6, -4] \cup (-4, 1/2) \cup \{3\} } \]
Но обязательно исключим точку \(x=-6\), так как деление на ноль, там выражение не определено.
Также, в интервале \((-6, -4)\), выражение отрицательно, и в точках \(-4\) и \(x=3\) равно нулю.
Ответ:
\[ \boxed{ (-\infty, -6) \cup [-4, 3] } \]
Внимание: Включаем \(-4\) и \(3\), поскольку там выражение равно 0.
Если нужен ещё какой-либо разбор или пояснения — скажите!
