X^2-3x+2>0

Давайте рассмотрим неравенство: \[ x^2 - 3x + 2 > 0 \] Цель — понять, при каких значениях \(x\) оно выполняется. ### Шаг 1: Найдём корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 3x + 2=0\) Для этого решим уравнение, чтобы найти точки, где выражение равно нулю, потому что дальше мы будем рассматривать интервал между этими точками. \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Можно разложить на множители, или воспользоваться формулой квадратичного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\). Подставим: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 1}{2} \] Это даёт два корня: - \(x_1 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\) - \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\) ### Шаг 2: Анализ знака многочлена Многочлен \(x^2 - 3x + 2\) — это квадратичная функция, которая по убыванию и возрастанию меняет знак на промежутках, ограниченных корнями. Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный (1), парабола "открывается вверх". Значит, многочлен принимает отрицательные значения между корнями и положительные — вне них. Рассмотрим интервал: - \(x < 1\) - \(1 < x < 2\) - \(x > 2\) ### Шаг 3: Проверка знака на интервалах - для \(x < 1\), например, \(x=0\): \[ 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0 \] Значит, многочлен положителен на интервале \((-\infty, 1)\). - для \(1 < x < 2\), например, \(x=1.5\): \[ (1.5)^2 - 3 \times 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0 \] Многочлен отрицателен на интервале \((1, 2)\). - для \(x > 2\), например, \(x=3\): \[ 3^2 - 3 \times 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \] Многочлен положителен на интервале \((2, +\infty)\). ### Шаг 4: Итог Неравенство: \(x^2 - 3x + 2 > 0\) Значит, ищем все \(x\), при которых многочлен положителен: \[ x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \] ### Итюльное решение: **Ответ:** \[ x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \] Это — все значения \(x\), при которых неравенство выполняется.