x^2-3x+2>0

Давайте рассмотрим неравенство:
\[ x^2 - 3x + 2 > 0 \]

Цель — понять, при каких значениях \(x\) оно выполняется.

Шаг 1: Найдём корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 3x + 2=0\)

Для этого решим уравнение, чтобы найти точки, где выражение равно нулю, потому что дальше мы будем рассматривать интервал между этими точками.

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Можно разложить на множители, или воспользоваться формулой квадратичного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\).

Подставим: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm 1}{2} \]

Это даёт два корня:

• \(x_1 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
• \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Шаг 2: Анализ знака многочлена

Многочлен \(x^2 - 3x + 2\) — это квадратичная функция, которая по убыванию и возрастанию меняет знак на промежутках, ограниченных корнями.

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный (1), парабола "открывается вверх".

Значит, многочлен принимает отрицательные значения между корнями и положительные — вне них.

Рассмотрим интервал:

• \(x < 1\)
• \(1 < x < 2\)
• \(x > 2\)

Шаг 3: Проверка знака на интервалах

• для \(x < 1\), например, \(x=0\):
  \[ 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0 \]
  Значит, многочлен положителен на интервале \((-\infty, 1)\).

• для \(1 < x < 2\), например, \(x=1.5\):
  \[ (1.5)^2 - 3 \times 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0 \]
  Многочлен отрицателен на интервале \((1, 2)\).

• для \(x > 2\), например, \(x=3\):
  \[ 3^2 - 3 \times 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \]
  Многочлен положителен на интервале \((2, +\infty)\).

Шаг 4: Итог

Неравенство: \(x^2 - 3x + 2 > 0\)

Значит, ищем все \(x\), при которых многочлен положителен:

\[ x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \]

Итюльное решение:

Ответ:

\[ x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \]

Это — все значения \(x\), при которых неравенство выполняется.