Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Сторона равностороннего треугольника ( a = 12 \sqrt{3} ) см.
Нам нужно найти:
- площадь треугольника ( S );
- радиус вписанной окружности ( r );
- радиус описанной окружности ( R ).
1. Площадь треугольника ( S )
Формула плошади равностороннего треугольника с стороной ( a ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим ( a = 12 \sqrt{3} ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (12 \sqrt{3})^2
]
Вычислим ( (12 \sqrt{3})^2 ):
[
(12 \sqrt{3})^2 = 12^2 \times (\sqrt{3})^2 = 144 \times 3 = 432
]
Теперь подставим в формулу:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 432
]
Вычислим:
[
S = \frac{432 \sqrt{3}}{4} = 108 \sqrt{3}
]
Ответ по площади:
[
\boxed{
S = 108 \sqrt{3} \text{ см}^2
}
]
2. Радиус вписанной окружности ( r )
Формула радиуса вписанной окружности для равностороннего треугольника:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
Подставим ( a = 12 \sqrt{3} ):
[
r = \frac{12 \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{6}
]
Обратим внимание: ( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 )
Тогда:
[
r = \frac{12 \times 3}{6} = \frac{36}{6} = 6
]
Ответ по радиусу вписанной окружности:
[
\boxed{
r = 6 \text{ см}
}
]
3. Радиус описанной окружности ( R )
Формула радиуса описанной окружности для равностороннего треугольника:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Подставим ( a = 12 \sqrt{3} ):
[
R = \frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12
]
Ответ по радиусу описанной окружности:
[
\boxed{
R = 12 \text{ см}
}
]
Итоговые ответы:
- Площадь: (\boxed{108 \sqrt{3} \text{ см}^2})
- Радиус вписанной окружности: (\boxed{6 \text{ см}})
- Радиус описанной окружности: (\boxed{12 \text{ см}})
Если нужно объяснение каждого шага подробнее — скажите!
