Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение множеств решений неравенств, в которых х - действительное число: а) х ≥ 5 и х < -7,5; б) х > -3,7 и х ≤ 4; в) -7 ≤…

Давайте разберём каждое неравенство отдельно и найдём их пересечения и объединения, используя координатную прямую.

а)

Неравенства:
\[ х \geq 5 \]
\[ х < -7,5 \]

Шаг 1:
Построим первую область \( х \geq 5 \).
Это часть координатной прямой, начинаясь с точки 5 и идущее вправо, включительно с 5 (так как знак «≥»).
Обозначение: \([5; +\infty)\).

Шаг 2:
Построим вторую область \( х < -7,5 \).
Это часть координатной прямой, начинаясь слева от -7,5, не включая -7,5.
Обозначение: \((-\infty; -7,5)\).

Шаг 3:
Найти пересечение:
Области не пересекаются, так как одна находится справа от 5, а другая слева от -7,5.
Ответ по пересечению: пустое множество \(\varnothing\).

Шаг 4:
Объединение:
Объединяет обе части.
То есть, все \( х \), которые больше или равны 5, или меньше -7,5.
Ответ:
\[ \boxed{ (-\infty; -7,5) \cup [5; +\infty) } \]

б)

Неравенства:
\[ х > -3,7 \]
\[ х \leq 4 \]

Шаг 1:
Первая область \( х > -3,7 \): открытая, начиная чуть правее -3,7, до плюс бесконечности.
Обозначение: \(( -3,7; +\infty )\).

Шаг 2:
Вторая область \( х \leq 4 \): включает 4 и все меньшие значения, то есть \((-\infty; 4]\).

Шаг 3:
Найти пересечение:
Области пересекаются в интервале, где \( х \) больше, чем -3,7, и при этом \( х \leq 4 \).
Пересечение: \(( -3,7; 4 ]\).

Шаг 4:
Объединение:
Обьединяют все \( х \), которые больше -3,7 или меньше или равно 4:
Это объединение двух интервалов.
В целом, объединение здесь равно \(( -3,7; +\infty)\), потому что \( (-3,7; 4] \subset ( -3,7; +\infty) \).

Ответ по объединению:
\[ \boxed{ ( -3,7; +\infty ) } \]

в)

Неравенства:
\[ -7 \leq х \leq 5 \]
\[ -6 \leq х \leq 2 \]

Шаг 1:
Первая область: \([-7; 5]\)

Шаг 2:
Вторая область: \([-6; 2]\)

Шаг 3:
Найти пересечение:
Области пересекаются на интервале, где \( х \) одновременно удовлетворяет обоим условиям.
Минимум пересечения: максимум из начальных точек \(-7\) и \(-6\), то есть \(-6\).
Максимум из концов: минимум из 5 и 2, то есть 2.
Итоговое пересечение: \([-6; 2]\).

Шаг 4:
Объединение двух интервалов:
Объединение равно \([-7; 5]\), так как оба интервала частично пересекаются, и объединение охватывает всё от \(-7\) до \(5\).

Ответ по объединению:
\[ \boxed{ [-7; 5] } \]

Если что-то осталось неясным или нужны дополнительные пояснения, скажите!