написать уравнение касательной : х^4+5х^3-1, х0=5

Давайте решим задачу — найти уравнение касательной к графику функции \( y = x^4 + 5x^3 - 1 \) в точке, где \( x_0 = 5 \).

Шаг 1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 5 \):

\[ y(5) = 5^4 + 5 \times 5^3 - 1 \]

Посчитаем по частям:

\[ 5^4 = 625 \] \[ 5^3 = 125 \] \[ 5 \times 125 = 625 \]

Тогда

\[ y(5) = 625 + 625 - 1 = 1249 \]

Шаг 2. Найдём производную функции, так как наклон касательной — это значение производной в точке \( x_0 \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 + 5x^3 - 1) = 4x^3 + 15x^2 \]

Подставим \( x=5 \):

\[ y'(5) = 4 \times 5^3 + 15 \times 5^2 \] \[ 5^3 = 125,\quad 5^2=25 \] \[ y'(5) = 4 \times 125 + 15 \times 25 = 500 + 375 = 875 \]

Шаг 3. Составим уравнение касательной. Общая формула касательной в точке \( (x_0, y_0) \):

\[ y = y_0 + y'(x_0)(x - x_0) \]

Подставляем:

\[ x_0 = 5,\quad y_0=1249,\quad y'(x_0)=875 \]

Итак,

\[ y = 1249 + 875 (x - 5) \]

Раскроем скобки:

\[ y = 1249 + 875x - 4375 \] \[ y = 875x + (1249 - 4375) \] \[ y = 875x - 3126 \]

Итог: уравнение касательной к графику функции в точке \( x_0=5 \):

\[ \boxed{ y = 875x - 3126 } \]

Если есть еще вопросы — обращайтесь!