Давайте решим задачу — найти уравнение касательной к графику функции ( y = x^4 + 5x^3 - 1 ) в точке, где ( x_0 = 5 ).
Шаг 1. Найдем значение функции в точке ( x_0 = 5 ):
[
y(5) = 5^4 + 5 \times 5^3 - 1
]
Посчитаем по частям:
[
5^4 = 625
]
[
5^3 = 125
]
[
5 \times 125 = 625
]
Тогда
[
y(5) = 625 + 625 - 1 = 1249
]
Шаг 2. Найдём производную функции, так как наклон касательной — это значение производной в точке ( x_0 ):
[
y' = \frac{d}{dx}(x^4 + 5x^3 - 1) = 4x^3 + 15x^2
]
Подставим ( x=5 ):
[
y'(5) = 4 \times 5^3 + 15 \times 5^2
]
[
5^3 = 125,\quad 5^2=25
]
[
y'(5) = 4 \times 125 + 15 \times 25 = 500 + 375 = 875
]
Шаг 3. Составим уравнение касательной. Общая формула касательной в точке ( (x_0, y_0) ):
[
y = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)
]
Подставляем:
[
x_0 = 5,\quad y_0=1249,\quad y'(x_0)=875
]
Итак,
[
y = 1249 + 875 (x - 5)
]
Раскроем скобки:
[
y = 1249 + 875x - 4375
]
[
y = 875x + (1249 - 4375)
]
[
y = 875x - 3126
]
Итог: уравнение касательной к графику функции в точке ( x_0=5 ):
[
\boxed{
y = 875x - 3126
}
]
Если есть еще вопросы — обращайтесь!
