Решите системы уравнений методом подстановки: 1. 5x - y = 0; 15x + 2y = 50 2. 5y - x = 8; 5x - 4y = 23 3. y + x = - 5; 8x - 2y = - 10
Давайте решим каждую систему уравнений методом подстановки пошагово и подробно объясним каждое действие.
1. Решение системы:
\[ 5x - y = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 15x + 2y = 50 \quad \text{(2)} \]
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из уравнения (1)
Из уравнения (1): \[ 5x - y = 0 \] Переходим к выражению \( y \): \[ y = 5x \]
Шаг 2: Подставим полученное выражение в другое уравнение (2)
В уравнение (2): \[ 15x + 2y = 50 \] заменяем \( y \) на \( 5x \): \[ 15x + 2 \times 5x = 50 \] \[ 15x + 10x = 50 \] \[ 25x = 50 \]
Шаг 3: Решим полученное уравнение
Делим обе стороны на 25: \[ x = \frac{50}{25} = 2 \]
Шаг 4: Найдём \( y \) через подставление значения \( x \)
\[ y = 5 \times 2 = 10 \]
Ответ:
\[
\boxed{
x = 2, \quad y = 10
}
\]
2. Решение системы:
\[ 5y - x = 8 \quad \text{(1)} \] \[ 5x - 4y = 23 \quad \text{(2)} \]
Шаг 1: Выразим \( x \) из уравнения (1)
Из уравнения (1): \[ 5y - x = 8 \] Переходим к \( x \): \[ x = 5y - 8 \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( x \) в уравнение (2)
В уравнение (2): \[ 5x - 4y = 23 \] подставляем \( x = 5y - 8 \): \[ 5(5y - 8) - 4y = 23 \] Раскрываем скобки: \[ 25y - 40 - 4y = 23 \] Объединяем похожие: \[ (25y - 4y) - 40 = 23 \] \[ 21y - 40 = 23 \]
Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно \( y \)
Добавляем 40 к обеим сторонам: \[ 21y = 63 \] Делим обе стороны на 21: \[ y = \frac{63}{21} = 3 \]
Шаг 4: Находим \( x \)
подставляем \( y = 3 \) в выражение для \( x \): \[ x = 5 \times 3 - 8 = 15 - 8 = 7 \]
Ответ: \[ \boxed{ x = 7, \quad y = 3 } \]
3. Решение системы:
\[ y + x = -5 \quad \text{(1)} \] \[ 8x - 2y = -10 \quad \text{(2)} \]
Шаг 1: Выразим \( y \) из уравнения (1)
Из уравнения (1): \[ y = -5 - x \]
Шаг 2: Подставим \( y \) в уравнение (2)
В уравнение (2): \[ 8x - 2y = -10 \] заменяем \( y \): \[ 8x - 2(-5 - x) = -10 \]
Раскрываем скобки: \[ 8x + 10 + 2x = -10 \] Объединяем подобные: \[ (8x + 2x) + 10 = -10 \] \[ 10x + 10 = -10 \]
Шаг 3: Решим относительно \( x \)
Вычитаем 10 с обеих сторон: \[ 10x = -20 \] Делим на 10: \[ x = -2 \]
Шаг 4: Находим \( y \)
подставляем \( x = -2 \) в выражение \( y = -5 - x \): \[ y = -5 - (-2) = -5 + 2 = -3 \]
Ответ: \[ \boxed{ x = -2, \quad y = -3 } \]
Если нужны дополнительные объяснения или решения, обращайтесь!
