Найди сумму первых двадцати двух членов геометрической прогрессии 5;-5;...
Давайте решим задачу пошагово.
Задача: найти сумму первых двадцати двух членов геометрической прогрессии, заданной первым членом 5 и последующим членом -5.
Шаг 1: Определение параметров прогрессии
- Первый член прогрессии: \( a_1 = 5 \)
- Второй член: \( a_2 = -5 \)
Поскольку у нас есть первый и второй член, мы можем найти знаменатель прогрессии \( q \):
\[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-5}{5} = -1 \]
Шаг 2: Проверка прогрессии
Теперь убедимся, что дальше прогрессия действительно геометрическая. Так как:
\[ a_3 = a_2 \times q = -5 \times -1 = 5 \]
и далее:
\[ a_4 = a_3 \times q = 5 \times -1 = -5 \]
заметим, что последовательность повторяется: 5, -5, 5, -5, ...
Это цикл из двух элементов: 5 и -5.
Шаг 3: Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии
Общая формула суммы первых \( n \) членов:
\[ S_n = a_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
но эта формула применима, если \( q \neq 1 \). В нашем случает \( q = -1 \neq 1 \), можно использовать её.
Шаг 4: Определение суммы первых 22 членов
Подставим значения:
\[ a_1 = 5, \quad q = -1, \quad n = 22 \]
\[ S_{22} = 5 \times \frac{(-1)^{22} - 1}{-1 - 1} \]
Так как \( (-1)^{22} = 1 \), то:
\[ S_{22} = 5 \times \frac{1 - 1}{-2} = 5 \times \frac{0}{-2} = 0 \]
Ответ:
Сумма первых 22 членов прогрессии равна 0.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой задачей, обращайся!
