Производная функции у=2х–х2+√х в точке х0 = 9 равна

Давайте найдем производную функции \( y = 2x - x^2 + \sqrt{x} \) в точке \( x_0 = 9 \).

Шаг 1. Запишем функцию:

\[ y = 2x - x^2 + \sqrt{x} \]

Шаг 2. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.

• Производная \( 2x \):

\[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]

• Производная \( -x^2 \):

\[ \frac{d}{dx}(-x^2) = -2x \]

• Производная \( \sqrt{x} = x^{1/2} \):

\[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Шаг 3. Объединим все части:

\[ y' = 2 - 2x + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Шаг 4. Подставим \( x_0 = 9 \):

\[ y'(9) = 2 - 2 \times 9 + \frac{1}{2 \sqrt{9}} \]

Вычислим каждое слагаемое:

• \( 2 \)
• \( -2 \times 9 = -18 \)
• \( \sqrt{9} = 3 \), следовательно,

\[ \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{6} \]

Теперь сложим все:

\[ y'(9) = 2 - 18 + \frac{1}{6} = -16 + \frac{1}{6} \]

Запишем в едином виде:

\[ y'(9) = \frac{-96}{6} + \frac{1}{6} = \frac{-95}{6} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{dy}{dx}\big|_{x=9} = -\frac{95}{6}} \]

или в десятичном виде примерно \(-15.83\).