Рассмотрим задачу по частям, чтобы понять и найти искомое отношение масс чая и воды.
Исходные данные:
- Начальная температура чая: ( T_{чая, нач} = 100^\circ C )
- Температура воды, добавленной для охлаждения: ( T_{воды} = 25^\circ C )
- Температура после первого добавления: ( T_{усл}^{(1)} = 75^\circ C )
- Удельная теплоёмкость чая и воды: ( c = 4200, Дж/(кг \cdot ^\circ C) )
- Потери тепла пренебречь
- Обозначения:
- Масса чая: ( m_{чая} )
- Масса добавленной воды: ( m_{воды} )
Шаг 1: Найдём отношение масс ( \frac{m_{чая}}{m_{воды}} )
При установлении теплового равновесия происходит равенство количества отданного тепла чаем и поглощённого водой:
[
Q_{отдано,чаем} = Q_{поглощено,водой}
]
Запишем:
[
m_{чая} c (T_{чая, нач} - T_{усл}^{(1)}) = m_{воды} c (T_{усл}^{(1)} - T_{воды})
]
Поскольку ( c ) одинаковая по обе функции, её можно сократить:
[
m_{чая} (100 - 75) = m_{воды} (75 - 25)
]
[
m_{чая} \times 25 = m_{воды} \times 50
]
Отсюда:
[
\frac{m_{чая}}{m_{воды}} = \frac{50}{25} = 2
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{m_{чая}}{m_{воды}} = 2
}
]
Шаг 2: После добавления ещё одной порции холодной воды
Катя добавила ещё такую же массу воды, то есть:
[
m_{воды}^{(итого)} = 2 m_{воды}
]
Теперь вода в чашке составляет ( 2 m_{воды} ).
Масса чая осталась та же — ( m_{чая} ).
Температура воды после второго добавления — всё ещё ( 25^\circ C ).
Шаг 3: Определим новую температуру чая после второго установления равновесия
Обозначим новую температуру чая как ( T_{нов} ).
Общий теплообмен:
[
Q_{отдано,чаем} = Q_{поглощено,водой}
]
Запишем:
[
m_{чая} c (T_{чая, нач} - T_{нов}) = (2 m_{воды}) c (T_{нов} - T_{воды})
]
Сократим ( c ):
[
m_{чая} (100 - T_{нов}) = 2 m_{воды} (T_{нов} - 25)
]
Но из предыдущего шага:
[
m_{чая} = 2 m_{воды}
]
подставляем:
[
2 m_{воды} (100 - T_{нов}) = 2 m_{воды} (T_{нов} - 25)
]
Можно сократить на ( 2 m_{воды} ):
[
100 - T_{нов} = T_{нов} - 25
]
Решим:
[
100 + 25 = 2 T_{нов}
]
[
125 = 2 T_{нов}
]
[
T_{нов} = \frac{125}{2} = 62.5^\circ C
]
Итог:
- Отношение массы чая к массе добавленной воды: (\boxed{2})
- Температура чая после второго добавления холодной воды: (\boxed{62.5^\circ C})
Если нужно разъяснение любого шага — спрашивайте!
