Давайте решим систему уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 - y^2 = 128 \quad (1) \
x^2 + y^2 = 520 \quad (2)
\end{cases}
]
Цель: Понять, как найти значения (x) и (y).
Шаг 1: Используем сумму и разность уравнений
Обратите внимание, что у нас есть два уравнения с одинаковыми квадратичными выражениями, только с разными знаками.
Рассмотрим сумму уравнений (1) и (2):
[
(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 128 + 520
]
Это упрощается так:
[
x^2 - y^2 + x^2 + y^2 = 648
]
[
2x^2 = 648
]
Следовательно,
[
x^2 = \frac{648}{2} = 324
]
Так как квадраты неотрицательны, то:
[
x = \pm \sqrt{324} = \pm 18
]
Шаг 2: Найти ( y )
Теперь используем уравнение (2):
[
x^2 + y^2 = 520
]
Подставляем (x^2 = 324):
[
324 + y^2 = 520
]
[
y^2 = 520 - 324 = 196
]
Следовательно,
[
y = \pm \sqrt{196} = \pm 14
]
Итоговые решения:
[
\boxed{
\begin{cases}
x = \pm 18 \
y = \pm 14
\end{cases}
}
]
возможны 4 комбинации:
- ( (x, y) = (18, 14) )
- ( (18, -14) )
- ( (-18, 14) )
- ( (-18, -14) )
Объяснение:
Мы использовали свойства квадратов и систему уравнений для нахождения неизвестных. Сложили уравнения, чтобы избавиться от ( y^2 ), нашли ( x^2 ), затем подставили в одно из начальных уравнений, чтобы найти ( y^2 ).
Если есть вопросы или нужно дополнительное пояснение, пишите!
