найдите вероятность того что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры тройка и три двойки
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Задача:
Найти вероятность того, что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры — это тройка и три двойки.
Шаг 1: Обозначение
Обозначим телефонный номер как последовательность из 7 цифр:
\[ d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 \]
Где \(d_1, d_2, \dots, d_7\) — цифры номера.
Шаг 2: Условие для последних четырех цифр
Последние четыре цифры: \(d_4, d_5, d_6, d_7\).
Требуется, чтобы они были:
- одна тройка (\(3\))
- три двойки (\(2\))
Рассмотрим все возможные позиции для этих цифр.
Шаг 3: Возможные расположения тройки и трёх двоек
Нам нужно, чтобы в последних четырех цифрах было ровно одно число \(3\) и три числа \(2\).
Эта комбинация может располагаться в разных позициях.
Обозначим порядок:
- Вариант 1: число \(3\) находится в позиции \(d_4\); двойки — в \(d_5, d_6, d_7\)
- Вариант 2: число \(3\) в позиции \(d_5\); двойки — в \(d_4, d_6, d_7\)
- Вариант 3: число \(3\) в позиции \(d_6\); двойки — в \(d_4, d_5, d_7\)
- Вариант 4: число \(3\) в позиции \(d_7\); двойки — в \(d_4, d_5, d_6\)
Всего вариантов — 4.
Шаг 4: Подсчет вероятности для каждого варианта
Рассмотрим один из вариантов, например, когда \(d_4 = 3\):
- \(d_4 = 3\)
- \(d_5, d_6, d_7\) — все тройки и двойки. У них — по одному \(3\) и трем двойкам.
В этом случае, возможные комбинации для последние 4 цифры:
\[ 3, 2, 2, 2 \]
Когда цифра фиксирована (\(d_4=3\)), остальные три цифры (\(d_5, d_6, d_7\)) должны быть:
- одна тройка
- три двойки
Но так как \(d_4=3\), то остальные три цифры — это три двойки:
\[ d_5 = 2, d_6=2, d_7=2 \]
Всего вариантов — 1 для этого варианта.
Аналогично для других вариантов — в каждом случае, позицию тройки фиксируем, остальные три цифры — тройки и двойки, расположенные в оставшихся позициях.
Обратите внимание:
- В каждом случае, сумма цифр — ровно одна тройка и три двойки.
- Количество способов расположить тройку в 4 позициях — ровно 4 (по числу вариантов).
Шаг 5: Общий подсчет успешных исходов для последних 4 цифр
Количество способов расположить тройку и три двойки в последних 4 позициях: 4.
Количество остальных цифр номера (\(d_1, d_2, d_3\)) — любые цифры от 0 до 9 независимо.
Общее количество вариантов: \(10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000\).
Шаг 6: Общее число возможных семизначных номеров
- Первую цифру не может быть нулем (иначе номер не будет семизначным), потому что телефонный номер начинаеется с ненулевой цифры.
Поэтому:
- \(d_1\) — от 1 до 9, всего 9 вариантов.
- Остальные 6 цифр \(d_2\) — \(d_7\) — каждая по 10 вариантов.
Общее количество номеров:
\[ 9 \times 10^6 \]
Шаг 7: Подсчет благоприятных исходов
- Для последних 4 цифр: 4 варианта расположения тройки и трёх двойек.
- Для первых 3 цифр: любые, при этом первая не равна нулю.
Общее количество благоприятных номеров:
\[ 4 \text{ (вариантов расположения)} \times 9 \text{ (для первой цифры)} \times 10^3 \text{ (для первых трех цифр)} \]
\[ = 4 \times 9 \times 1000 = 36 000 \]
Шаг 8: Вычисление вероятности
Общая вероятность:
\[
\text{Вероятность} = \frac{\text{Благоприятные номера}}{\text{Общее количество номеров}}
= \frac{36\,000}{9\,000\,000}
= \frac{36\,000}{9\,000\,000}
= \frac{36}{900}
= \frac{4}{100}
= 0,04
\]
или в процентах:
\[
4\%
\]
Итог:
Ответ: вероятность того, что в случайно выбранном семизначном номере последние четыре цифры — это тройка и три двойки, равна 4%.
