Найдите вероятность того что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры тройка и три двойки

Давайте разберем задачу шаг за шагом. **Задача:** Найти вероятность того, что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры — это тройка и три двойки. --- ### Шаг 1: Обозначение Обозначим телефонный номер как последовательность из 7 цифр: \[ d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 \] Где \(d_1, d_2, \dots, d_7\) — цифры номера. --- ### Шаг 2: Условие для последних четырех цифр Последние четыре цифры: \(d_4, d_5, d_6, d_7\). Требуется, чтобы они были: - одна тройка (\(3\)) - три двойки (\(2\)) Рассмотрим все возможные позиции для этих цифр. --- ### Шаг 3: Возможные расположения тройки и трёх двоек Нам нужно, чтобы в последних четырех цифрах было ровно одно число \(3\) и три числа \(2\). Эта комбинация может располагаться в разных позициях. Обозначим порядок: - Вариант 1: число \(3\) находится в позиции \(d_4\); двойки — в \(d_5, d_6, d_7\) - Вариант 2: число \(3\) в позиции \(d_5\); двойки — в \(d_4, d_6, d_7\) - Вариант 3: число \(3\) в позиции \(d_6\); двойки — в \(d_4, d_5, d_7\) - Вариант 4: число \(3\) в позиции \(d_7\); двойки — в \(d_4, d_5, d_6\) Всего вариантов — 4. --- ### Шаг 4: Подсчет вероятности для каждого варианта Рассмотрим один из вариантов, например, когда \(d_4 = 3\): - \(d_4 = 3\) - \(d_5, d_6, d_7\) — все тройки и двойки. У них — по одному \(3\) и трем двойкам. В этом случае, возможные комбинации для последние 4 цифры: \[ 3, 2, 2, 2 \] Когда цифра фиксирована (\(d_4=3\)), остальные три цифры (\(d_5, d_6, d_7\)) должны быть: - одна тройка - три двойки Но так как \(d_4=3\), то остальные три цифры — это три двойки: \[ d_5 = 2, d_6=2, d_7=2 \] Всего вариантов — 1 для этого варианта. Аналогично для других вариантов — в каждом случае, позицию тройки фиксируем, остальные три цифры — тройки и двойки, расположенные в оставшихся позициях. **Обратите внимание:** - В каждом случае, сумма цифр — ровно одна тройка и три двойки. - Количество способов расположить тройку в 4 позициях — ровно 4 (по числу вариантов). --- ### Шаг 5: Общий подсчет успешных исходов для последних 4 цифр - Количество способов расположить тройку и три двойки в последних 4 позициях: 4. - Количество остальных цифр номера (\(d_1, d_2, d_3\)) — любые цифры от 0 до 9 независимо. Общее количество вариантов: \(10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000\). --- ### Шаг 6: Общее число возможных семизначных номеров - Первую цифру не может быть нулем (иначе номер не будет семизначным), потому что телефонный номер начинаеется с ненулевой цифры. Поэтому: - \(d_1\) — от 1 до 9, всего 9 вариантов. - Остальные 6 цифр \(d_2\) — \(d_7\) — каждая по 10 вариантов. Общее количество номеров: \[ 9 \times 10^6 \] --- ### Шаг 7: Подсчет благоприятных исходов - Для последних 4 цифр: 4 варианта расположения тройки и трёх двойек. - Для первых 3 цифр: любые, при этом первая не равна нулю. Общее количество благоприятных номеров: \[ 4 \text{ (вариантов расположения)} \times 9 \text{ (для первой цифры)} \times 10^3 \text{ (для первых трех цифр)} \] \[ = 4 \times 9 \times 1000 = 36 000 \] --- ### Шаг 8: Вычисление вероятности Общая вероятность: \[ \text{Вероятность} = \frac{\text{Благоприятные номера}}{\text{Общее количество номеров}} = \frac{36\,000}{9\,000\,000} = \frac{36\,000}{9\,000\,000} = \frac{36}{900} = \frac{4}{100} = 0,04 \] или в процентах: \[ 4\% \] --- ## Итог: **Ответ:** вероятность того, что в случайно выбранном семизначном номере последние четыре цифры — это тройка и три двойки, равна **4%**.