Дана функция z=x^4×lny. показать, что (d^2z)\(dxdy)=(d^2z)\(dydx)

Давайте внимательно разберем задачу: нужно показать, что смешанные частные производные функции \(z = x^4 \times \ln y\) удовлетворяют равенству: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \] Это утверждение называется теоремой о равенстве смешанных производных (при достаточной гладкости функции), и оно справедливо, если функции несамопересекающиеся частные производные второго порядка непрерывны. --- ### Шаг 1. Найдём первую частную производную по \(x\): \[ z = x^4 \ln y \] Здесь \(y\) — константа при дифференцировании по \(x\). \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 \ln y \] --- ### Шаг 2. Найдём вторую частную производную по \(x\) и \(y\): Для получения \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\), сначала дифференцируем \(\frac{\partial z}{\partial x}\) по \(y\): \[ \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y}(4x^3 \ln y) \] Здесь \(4x^3\) — константа по \(y\), поэтому: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 4x^3 \frac{\partial}{\partial y}(\ln y) = 4x^3 \times \frac{1}{y} \] --- ### Шаг 3. Теперь найдём первую частную производную по \(y\): \[ z = x^4 \ln y \] При дифференцировании по \(y\), \(x^4\) — константа: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^4 \times \frac{1}{y} \] --- ### Шаг 4. Теперь найдём вторую частную производную по \(y\) и \(x\): Дифференцируем \(\frac{\partial z}{\partial y}\) по \(x\): \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^4 \times \frac{1}{y}) = \frac{1}{y} \times \frac{\partial}{\partial x}(x^4) = \frac{1}{y} \times 4x^3 \] Итого: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 4x^3 \times \frac{1}{y} \] --- ### **Вывод:** Обратите внимание, что: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{4x^3}{y} \] Т.е., смешанные частные производные равны. --- ### Итог: **Доказано, что** \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{4x^3}{y} \] что и требовалось показать. Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!