дана функция z=x^4×lny. показать, что (d^2z)\(dxdy)=(d^2z)\(dydx)
Давайте внимательно разберем задачу: нужно показать, что смешанные частные производные функции \(z = x^4 \times \ln y\) удовлетворяют равенству:
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \]
Это утверждение называется теоремой о равенстве смешанных производных (при достаточной гладкости функции), и оно справедливо, если функции несамопересекающиеся частные производные второго порядка непрерывны.
Шаг 1. Найдём первую частную производную по \(x\):
\[ z = x^4 \ln y \]
Здесь \(y\) — константа при дифференцировании по \(x\).
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 \ln y \]
Шаг 2. Найдём вторую частную производную по \(x\) и \(y\):
Для получения \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\), сначала дифференцируем \(\frac{\partial z}{\partial x}\) по \(y\):
\[ \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial y}(4x^3 \ln y) \]
Здесь \(4x^3\) — константа по \(y\), поэтому:
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 4x^3 \frac{\partial}{\partial y}(\ln y) = 4x^3 \times \frac{1}{y} \]
Шаг 3. Теперь найдём первую частную производную по \(y\):
\[ z = x^4 \ln y \]
При дифференцировании по \(y\), \(x^4\) — константа:
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^4 \times \frac{1}{y} \]
Шаг 4. Теперь найдём вторую частную производную по \(y\) и \(x\):
Дифференцируем \(\frac{\partial z}{\partial y}\) по \(x\):
\[ \frac{\partial}{\partial x}(x^4 \times \frac{1}{y}) = \frac{1}{y} \times \frac{\partial}{\partial x}(x^4) = \frac{1}{y} \times 4x^3 \]
Итого:
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 4x^3 \times \frac{1}{y} \]
Вывод:
Обратите внимание, что:
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{4x^3}{y} \]
Т.е., смешанные частные производные равны.
Итог:
Доказано, что
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{4x^3}{y} \]
что и требовалось показать.
Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
