Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Масса тела: ( m = 6,\text{г} = 0{,}006,\text{кг} )
- Период колебаний: ( T = 1,\text{с} )
- Начальная фаза: ( \varphi = \frac{\pi}{4} )
- Максимальная кинетическая энергия: ( E_{k,\text{max}} = 0{,}04,\text{Дж} )
Требуется найти амплитуду колебаний ( A ).
Шаг 1. Связь энергетики колебаний
В гармонических колебаниях:
Максимальная потенциальная энергия:
[
E_{p,\text{max}} = \frac{1}{2}kA^2
]
Максимальная кинетическая энергия:
[
E_{k,\text{max}} = \frac{1}{2}kA^2
]
следовательно:
[
E_{k,\text{max}} = E_{p,\text{max}} = \frac{1}{2}kA^2
]
Из этого получаем:
[
k = \frac{2E_{k,\text{max}}}{A^2}
]
Шаг 2. Связь периода и коэффициента жёсткости (k)
Период гармонических колебаний:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
Выражаем (k):
[
k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}
]
Подставляем известные значения:
[
k = \frac{4\pi^2 \times 0{,}006}{(1)^2} = 4\pi^2 \times 0{,}006
]
\pi^2 \approx 9.8696
Тогда:
[
k \approx 4 \times 9.8696 \times 0.006 = 4 \times 0.0592176 \approx 0.23687, \text{Н/м}
]
Шаг 3. Поиск амплитуды (A)
Из энергии:
[
E_{k,\text{max}} = \frac{1}{2}kA^2
]
Следовательно:
[
A^2 = \frac{2E_{k,\text{max}}}{k}
]
Подставляем значения:
[
A^2 = \frac{2 \times 0.04}{0.23687} \approx \frac{0.08}{0.23687} \approx 0.338
]
Получаем:
[
A = \sqrt{0.338} \approx 0.581, \text{м}
]
Итог:
Амплитуда колебаний составляет примерно 0,58 м.
Если округлить до сотых:
Ответ: (\boxed{0.58 \text{ м}})
Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь!
