(x^3n-9/x^2n+4x^n-21)-(18/x^2n+4x^n-21)
Давайте рассмотрим выражение:
\[
\frac{x^{3n} - 9}{x^{2n} + 4x^{n} - 21} - \frac{18}{x^{2n} + 4x^{n} - 21}
\]
Цель — понять и подробно разобрать решение.
Шаг 1: Обозначения и упрощение выражения
Обозначим: \[ A = x^{2n} + 4x^{n} - 21 \]
Тогда исходное выражение станет:
\[ \frac{x^{3n} - 9}{A} - \frac{18}{A} \]
Объединим два дроби по общему знаменателю:
\[ \frac{x^{3n} - 9 - 18}{A} \]
Что дает:
\[ \frac{x^{3n} - 27}{A} \]
Шаг 2: Работа с числителем
Обратим внимание, что числитель — это разность вида:
\[ x^{3n} - 27 \] Это похоже на разность кубов, так как: \[ 27 = 3^3 \] и \[ x^{3n} = (x^{n})^{3} \]
поэтому числитель — это разность кубов:
\[ (x^{n})^{3} - 3^{3} \]
Используем формулу разности кубов:
\[ a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) \]
где: \[ a = x^{n}, \quad b=3 \]
тогда:
\[ x^{3n} - 27 = (x^{n} - 3)(x^{2n} + 3x^{n} + 9) \]
Шаг 3: Перепишем выражение
Теперь оно принимает вид:
\[ \frac{(x^{n} - 3)(x^{2n} + 3x^{n} + 9)}{A} \]
где
\[ A = x^{2n} + 4x^{n} - 21 \]
Шаг 4: Анализируем знаменатель
Обратим внимание на \(A\):
\[ A = x^{2n} + 4x^{n} - 21 \]
Это похоже на квадратичное выражение относительно \(x^{n}\):
Обозначим:
\[ y = x^{n} \]
тогда:
\[ A = y^{2} + 4y - 21 \]
Решим это квадратичное уравнение:
\[ y^{2} + 4y - 21 = 0 \]
Используем формулу квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \]
здесь \(a=1\), \(b=4\), \(c=-21\):
\[ \Delta = 4^{2} - 4 \times 1 \times (-21) = 16 + 84 = 100 \]
Следовательно:
\[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2} \]
Получаем два решения:
\[ y_{1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ y_{2} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]
Шаг 5: Итоговое выражение
Таким образом, \(A\) можно представить как:
\[ A = (x^{n} - 3)(x^{n} + 7) \]
Поскольку исходное выражение делит эти множители, оно становится:
\[ \frac{(x^{n} - 3)(x^{2n} + 3x^{n} + 9)}{(x^{n} - 3)(x^{n} + 7)} \]
Если \(x^{n} \neq 3\), тогда можно сократить:
\[ \frac{x^{2n} + 3x^{n} + 9}{x^{n} + 7} \]
Итответ:
Запишем окончательный ответ:
\[ \boxed{ \frac{x^{2n} + 3x^{n} + 9}{x^{n} + 7} } \]
Если же \(x^{n} = 3\), то исходное выражение делит на ноль, и его нельзя упростить при этом значении.
Если есть дополнительные вопросы или нужно уточнить, — спрашивайте!
