(x^3n-9/x^2n+4x^n-21)-(18/x^2n+4x^n-21)

Давайте рассмотрим выражение: \[ \frac{x^{3n} - 9}{x^{2n} + 4x^{n} - 21} - \frac{18}{x^{2n} + 4x^{n} - 21} \] Цель — понять и подробно разобрать решение. --- ### Шаг 1: Обозначения и упрощение выражения Обозначим: \[ A = x^{2n} + 4x^{n} - 21 \] Тогда исходное выражение станет: \[ \frac{x^{3n} - 9}{A} - \frac{18}{A} \] Объединим два дроби по общему знаменателю: \[ \frac{x^{3n} - 9 - 18}{A} \] Что дает: \[ \frac{x^{3n} - 27}{A} \] ---- ### Шаг 2: Работа с числителем Обратим внимание, что числитель — это разность вида: \[ x^{3n} - 27 \] Это похоже на разность кубов, так как: \[ 27 = 3^3 \] и \[ x^{3n} = (x^{n})^{3} \] поэтому числитель — это разность кубов: \[ (x^{n})^{3} - 3^{3} \] Используем формулу разности кубов: \[ a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) \] где: \[ a = x^{n}, \quad b=3 \] тогда: \[ x^{3n} - 27 = (x^{n} - 3)(x^{2n} + 3x^{n} + 9) \] --- ### Шаг 3: Перепишем выражение Теперь оно принимает вид: \[ \frac{(x^{n} - 3)(x^{2n} + 3x^{n} + 9)}{A} \] где \[ A = x^{2n} + 4x^{n} - 21 \] --- ### Шаг 4: Анализируем знаменатель Обратим внимание на \(A\): \[ A = x^{2n} + 4x^{n} - 21 \] Это похоже на квадратичное выражение относительно \(x^{n}\): Обозначим: \[ y = x^{n} \] тогда: \[ A = y^{2} + 4y - 21 \] Решим это квадратичное уравнение: \[ y^{2} + 4y - 21 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \] здесь \(a=1\), \(b=4\), \(c=-21\): \[ \Delta = 4^{2} - 4 \times 1 \times (-21) = 16 + 84 = 100 \] Следовательно: \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2} \] Получаем два решения: \[ y_{1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ y_{2} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \] --- ### Шаг 5: Итоговое выражение Таким образом, \(A\) можно представить как: \[ A = (x^{n} - 3)(x^{n} + 7) \] Поскольку исходное выражение делит эти множители, оно становится: \[ \frac{(x^{n} - 3)(x^{2n} + 3x^{n} + 9)}{(x^{n} - 3)(x^{n} + 7)} \] Если \(x^{n} \neq 3\), тогда можно сократить: \[ \frac{x^{2n} + 3x^{n} + 9}{x^{n} + 7} \] --- ### **Итответ:** Запишем окончательный ответ: \[ \boxed{ \frac{x^{2n} + 3x^{n} + 9}{x^{n} + 7} } \] Если же \(x^{n} = 3\), то исходное выражение делит на ноль, и его нельзя упростить при этом значении. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно уточнить, — спрашивайте!