Диаметр окружности делит её хорду АВ пополам. Докажите, что хорда АВ либо перпендикулярна этому диаметру, либо сама является диаметром данной окружности (рис. 20.53).

Давайте внимательно разберемся с задачей и докажем её по шагам. **Условие:** Диаметр окружности делит её хорду АВ пополам, то есть точка М — середина хорды АВ. Важно понять, что именно — какая окружность, о каком диаметре идет речь, и как связаны эти элементы. **Что нам нужно доказать:** Что тогда либо хорда АВ перпендикулярна диаметру, либо сама является диаметром. --- ## Шаг 1: Обозначения и рисунок Обозначим окружность \( \mathcal{O} \), её центр — \( O \). Пусть \( D \) — диаметр этой окружности, проходящий через \( O \). Пусть \( A \) и \( B \) — точки на окружности, и \( D \) — диаметр, проходящий через \( O \) и, без ограничения общности, через точки \( D_1 \) и \( D_2 \). Обозначим \( M \) — середина хорды \( AB \). По условию, \( D \) делит хорду \( AB \) пополам, то есть \( M \) — средина \( AB \). --- ## Шаг 2: Связь между точками Поскольку \( M \) — середина \( AB \), и \( D \) делит \( AB \) пополам, то: \[ M = D \] то есть точка \( D \) совпадает с серединой хорды \( AB \). --- ## Шаг 3: Анализ ситуации Из условия предположим, что точка \( D \) — это точка на диаметре \( D \), и при этом \( D \) — середина хорды \( AB \). Так как \( D \) — середина хорды \( AB \), то: \[ AM = MB \] --- ## Шаг 4: Вспомним свойства окружности и хорды Для любой хорды \( AB \), если \( M \) — середина, то в случае, когда \( M \) — середина хорды, проведенной из центра или через центр — это важное свойство. Также, есть важное свойство: **Если точка \( M \) — середина хорды \( AB \), касающаяся центра окружности, то \( OM \perp AB \).** Однако в нашем случае, поскольку \( D \) делит \( AB \), и \( D \) совпадает с серединой \( AB \), то: \[ MD = 0, \] и точка \( D \) — середина \( AB \). --- ## Шаг 5: Докажем, что либо \( AB \) — диаметр, либо перпендикулярна диаметру Рассмотрим два варианта: 1. **Если \( AB \) — диаметр окружности:** Тогда \( AB \) — вершина диаметра, и условие выполнено прямо. 2. **Если \( AB \) — не диаметр:** Рассмотрим, что происходит при этом. Известно, что: - Всякий перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит её пополам. - В нашем случае, поскольку \( M \) — середина \( AB \) и совпадает с \( D \), точкой на диаметре, то отрезок \( OD \) проходит через центр, а \( D=M \). Следовательно,: - Если \( AB \) не диаметр, то его середина \( M \) лежит на диаметре (так как \( D \) делит \( AB \) пополам), и \( OM \perp AB \). То есть, если \( AB \) не является диаметром, то: \[ OM \perp AB, \] а \( OM \) — перпендикуляр, проведенный из центра \( O \) к хорде \( AB \). --- ## Итог: **Доказано:** Если диаметр окружности делит хорду \( AB \) пополам, то либо: - \( AB \) — диаметр (и тогда условие выполнено напрямую), либо - Медиана, проходящая через центр, — перпендикулярна хорде \( AB \). Иными словами, **хорда \( AB \) либо является диаметром, либо перпендикулярна диаметру окружности.** --- ## Итоговое утверждение: **Если диаметр окружности делит её хорду пополам, то либо эта хорда — диаметр, либо она перпендикулярна диаметру.** --- Если есть необходимость, я могу подготовить более детальную визуализацию или дополнительные объяснения!