скользкой дорожке какой падеж

Для ответа на ваш вопрос важно понять контекст, в котором используется выражение "скользкой дорожке".

Обычно в русском языке выражение "по скользкой дорожке" употребляется в значении движения по чему-то, что находится в предложном падеже:
"по скользкой дорожке" — здесь "по" — предлог, а "скользкой дорожке" — существительное "дорожка" в предложном падеже единственного числа, женского рода, прилагательное "скользкой" — в форме женского рода, единственного числа, предложного падежа.

Итак, в выражении "по скользкой дорожке" падеж — предложный падеж.

Если ваш вопрос конкретнее:

• В каком падеже слово "дорожка" или фраза "скользкая дорожка"? — ответ, что в предложном падеже ("на/по + предложный падеж").
• В каком падеже лежит слово "дорожке" (часть фразы "по дорожке")? — в предложном падеже.

Общий ответ:
"скользкая дорожка" — в именительном падеже, если говорим о самой дорожке в качестве субъекта, а в предложении с предлогом "по" — в предложном падеже ("по скользкой дорожке").