Билет №7 1. Теорема Пифагора. 2. Вписанная окружность. Теорема о вписанной окружности. Свойства вписанного четырёхугольника. 3. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны…

Конечно! Я подготовлю подробные решения по каждому из вопросов из билетов №7, №8, №9 и №10. Ниже — подробные объяснения и решения.

---

Билет №7

1. Теорема Пифагора

Задача: Напомнить и объяснить теорему Пифагора.

Объяснение:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длинной стороны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов катетов.

Формула:
Если \( AC \) — гипотенуза, а \( AB \) и \( BC \) — катеты, то:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

---

2. Вписанная окружность. Теорема о вписанной окружности. Свойства вписанного четырёхугольника.

Объяснение:

• Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех сторон многоугольника внутри него.
• Для произвольного четырёхугольника, чтобы в него могла войти вписанная окружность, противоположные стороны должны суммироваться одинаково (свойство: сумма двух противоположных сторон равна сумме двух других) — это условие равносильно тому, что четырёхугольник является вписанным.

Теорема:
Внутри любого равнобедренного или произвольного четырёхугольника может находиться вписанная окружность если и только если сумма противоположных сторон равна.

Свойства:

• Расстояния от точки касания до сторон равны — радиусы.

---

3. Найти высоту, проведённую к стороне ВС.

Дано:

• \( AB=8\,см \), \( BC=4,8\,см \),
• Высота, проведённая к \( AB \), равна 6 см.

Обозначим:

• \( h_A \) — высота, проведённая к \( AB \), равна 6 см.
• Нужно найти \( h_C \) — высоту, проведённую к \( BC \).

Решение:

Площадь треугольника через основание \( AB \):
\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times h_A = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\,см^2 \]

Площадь также можно выразить через основание \( BC \) и соответствующую высоту \( h_C \):

\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times h_C \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \times 4,8 \times h_C \]

Отсюда:

\[ h_C = \frac{2 \times 24}{4,8} = \frac{48}{4,8} = 10\,см \]

Ответ:
Высота, проведённая к стороне \( BC \), равна 10 см.

---

4. Средняя линия \( KM \) треугольника \( ABC \) и площадь меньшего треугольника

Дано:

• \( KM \) — средняя линия, отсекающая треугольник \( KV M \).
• Площадь \( S_{KV M} = 10\,см^2 \).

Объяснение:
Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и равен половине её.

Площадь треугольника, ограниченного средней линией, равна половине площади исходного треугольника:

Но тут говорится, что отсекаемый треугольник имеет площадь 10 см\(^2\).
Это означает, что данный меньший треугольник — часть, которая находится внутри, и его площадь равна половине площади исходного.

Поскольку средняя линия делит треугольник на два меньших по площади треугольника, площадь полного треугольника:

\[ S_{ABC} = 2 \times S_{KV M} = 2 \times 10 = 20\,см^2 \]

---

Билет №8

1. Первый признак подобия треугольников

Объяснение:
Треугольники будем считать подобными, если два угла одного равны двум углам другого.
Признак:
Если один угол в первом треугольнике равен соответствующему углу во втором, и два стороны, окружающие эти углы, пропорциональны, то треугольники подобны.

Формулировка:
Если \(\angle A_1 = \angle A_2\), при этом:
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} \quad \text{или} \quad \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} \]
— то треугольники подобны.

---

2. Средняя линия трапеции и её свойства

Объяснение:

• Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины оснований.
• Свойство: середняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме:
  \[ \text{Средняя линия} = \frac{AD + BC}{2} \]

---

3. Подобны ли треугольники \( ABC \) и \( A1B1C1 \)?

Дано:

• \( AB = 3\,см \), \( BC=5\,см \), \( CA=7\,см \),
• \( A1B1=4.5\,см \), \( B1C1=7.5\,см \), \( A1C1=10.5\,см \).

Рассчитаем пропорции:

• \( \frac{AB}{A1B1}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3} \)

• \( \frac{BC}{B1C1}=\frac{5}{7.5}=\frac{2}{3} \)

• \( \frac{CA}{A1C1}=\frac{7}{10.5}=\frac{2}{3} \)

Так как все три соотношения равны, то треугольники подобны по признаку sss — по трем сторонам.

Ответ:
Треугольники подобны.

---

4. Точка касания окружности и периметр треугольника

Дано:

• Точка касания делит боковую сторону на отрезки равные 3 см и 4 см от основания.

Обозначим:

• \( AB \) и \( AC \) — боковые стороны.
• Точка касания делит сторону \( BC \) на \( BD=3\,см \), \( DC=4\,см \).

Значит, \( BC = 7\,см \).

Поскольку касательная к вписанной окружности из одной точки равна:

• Каждая касательная из вершины равна, а также касательные из точки касания к сторонам равны.

Обозначим стороны:
\( AB = x \), \( AC = y \)

Из свойств касательных:

• Т.к. точки касания делят стороны равными касательными, то:

\[ AB - BD = AC - DC \]
\[ x - 3 = y - 4 \Rightarrow y = x + 1 \]

Периметр:
\[ P = AB + BC + AC = x + 7 + y \]

Подставляем \( y = x + 1 \):
\[ P = x + 7 + x + 1 = 2x + 8 \]

Рассмотрим треугольник:

• Высота через \( BC \), точки касания, и равные касательные позволяют вычислить стороны, но поскольку у нас один из условий — равенство касательных, Периметр — это:

Если нужно найти конкретное значение, потребуется больше данных. Тут предполагается, что периметр равен \( 2x + 8 \).

---

Билет №9

1. Второй признак подобия треугольников

Объяснение:
Треугольники подобны, если два угла одного равны двум углам другого, а также последние стороны, включённые между равными углами, пропорциональны.
Это:
Если \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle E\), и:
\[ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \]
или другие соответствующие стороны пропорциональны.

---

2. Описанная окружность и её свойства

Объяснение:

• Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины треугольника.
• Свойство:
  Треугольник — вписан в окружность, и сумма противолежащих углов равна 180°.
• В центре — точка, равноудалённая от всех вершин (центр описанной окружности).

---

3. Площадь ромба с одной стороной 10 см и углом 150°

Объяснение:
Площадь ромба:
\[ S = a^2 \sin \theta \]

Где:

• \( a = 10\,см \), \(\theta=150^\circ \).
  \(\sin 150^\circ = 0,5 \).

Значит:
\[ S = 10^2 \times 0,5 = 100 \times 0,5 = 50\,см^2 \]

Ответ:
Площадь ромба — 50 см\(^2\).

---

4. Площадь прямоугольного треугольника с острым углом 45°, гипотенуза \( \frac{3v}{2} \)

Объяснение:

• В прямоугольном треугольнике с углом 45°, два катета равны.
• Обозначим катет \( x \).

Гипотенуза:
\[ c = x \sqrt{2} \]

По условию:
\[ c = \frac{3v}{2} \]

Значит:
\[ x \sqrt{2} = \frac{3v}{2} \Rightarrow x = \frac{3v}{2 \sqrt{2}} \]

Площадь:
\[ S = \frac{1}{2} x^2 \]

Подставим \( x \):

\[ S = \frac{1}{2} \times \left(\frac{3v}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{9v^2}{4 \times 2} = \frac{1}{2} \times \frac{9v^2}{8} = \frac{9v^2}{16} \]

---

Билет №10

1. Третий признак подобия треугольников

Объяснение:
Если три соответствующие стороны двух треугольников пропорциональны, то треугольники подобны.
Формулировка:
Если \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}\), то треугольники подобны.

---

2. Медиана и её свойства

Объяснение:

• Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Свойство: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

---

3. Вид треугольника со сторонами 6, 8, 10 см

Обоснование:
Наличие стороны 10 см, сумма двух других сторон:
\[ 6 + 8 = 14 > 10 \], и проверка по теореме Пифагора:
\[ 6^2 + 8^2 = 36 + 64= 100 \] \[ 10^2=100 \]

Это классический прямоугольный треугольник.

Ответ:
Треугольник — прямоугольный, с гипотенузой 10 см.

---

4. Площадь трапеции \( ABCD \)

Дано:

• \( AD=20\,см \), \( BC=4\,см \), \( AB=16\,см \), \( \angle A=30^\circ \).

Нам нужно найти площадь.

Обозначим:

• Высота трапеции (расстояние между основаниями) равна \( h \).

Для этого воспользуемся формулой:
\[ S = \frac{(AD + BC)}{2} \times h \]

Рассчитаем высоту:

• В треугольнике \( \AB \) и \( \angle A=30^\circ \), ш: \( AB=16\,см \).
• Высота, проведённая из точки \( B \) на \( AD \), равна \( h = AB \times \sin 30^\circ = 16 \times 0.5 = 8\,см \).

Используем:

\[ S = \frac{20 + 4}{2} \times 8 = 12 \times 8 = 96\,см^2 \]

Ответ:
Площадь трапеции — 96 см\(^2\).

---

Если у вас есть конкретная задача или изображение, пришлите, я подготовлю более точное решение!