Стержень квадратного поперечного сечения, жестко защемленный одним концом, нагружен силами F и 2F (см. рис. ). Эпюра продольных сил N показана на рисунке. Известны величины: F =…
Стержень квадратного поперечного сечения, жестко защемленный одним концом, нагружен силами F и 2F (см. рис. ). Эпюра продольных сил N показана на рисунке. Известны величины: F = 0,054 МН, допускаемое напряжение [0] = 180 МПа. Минимально допустимое значение размера b, из расчета на прочность по допускаемым нормальным напряжениям, равно ＿ см.
Для решения задачи нужно определить минимальный размер b поперечного сечения, при котором стержень обеспечивает прочность по допускаемым нормальным напряжениям. Дано:
- Сила \( F = 0,054\, \text{МН} \)
- Максимальное допустимое напряжение \([\sigma] = 180\, \text{МПа}\)
- Сечение — квадратное, со стороной b
- Защемление — жесткое, один конец, нагрузки \( F \) и \( 2F \)
Шаг 1: Определение требований к прочности
Нормальные напряжения в поперечном сечении под действием нагрузок не должны превышать допустимый уровень:
\[ \sigma_{max} \leq [\sigma] \]
Для этого необходимо найти максимальное нормальное напряжение \(\sigma_{max}\) в сечении.
Шаг 2: Анализ распределения усилий и эпюра продольных сил
Из условия задачи известно, что эпюра \( N \) показана на рисунке (к сожалению, изображение отсутствует, но предполагается, что она «прямолинейная», с учетом сил F и 2F). Обычно при таких задачах:
- В начальной точке (защемленный конец) усилие равно нулю или начинает с некоторого значения,
- В точке приложения силы \( F \) и \( 2F \) усилия меняются в зависимости от положения по длине.
Наиболее опасная точка — в месте, где усилие достигает максимума по значению.
Шаг 3: Определение усилий \(N\) по поперечному сечению
Если предположить, что усилие \(N(t)\) меняется по длине, и максимальное значение усилия равно \(N_{max}\). Чтобы найти его, необходимо знать схему расположения сил.
Общая идея:
- На участке с приложенными силами, усилие в любом сечении равно сумме всех сил, приложенных слева или справа от него.
- В случае защиты и закрепления, усилия могут иметь положительные и отрицательные значения.
Вообще, максимально усилие — это сумма приложенных сил, учитывая их знаки. В случае жестко закрепленного конца и двух сил, обычно:
\[ N_{max} = F + 2F = 3F \]
при условии, что силы приложены так, что усилие складывается.
Шаг 4: Расчет максимальной нормальной напряженности
Нормальное напряжение в поперечном сечении при усилии \(N_{max}\):
\[ \sigma = \frac{N_{max}}{A} = \frac{N_{max}}{b^2} \]
Где \(A\) — площадь поперечного сечения (квадрат).
Подставим \( N_{max} = 3F \):
\[ \sigma = \frac{3F}{b^2} \]
Требование по прочности:
\[ \sigma \leq 180\, \text{МПа} \]
Подставляем значения:
\[ \frac{3 \times 0.054\, \text{МН}}{b^2} \leq 180\, \text{МПа} \]
Шаг 5: Перевод единиц и решение уравнения
Переводим \(F\) из МН в Н:
\[ F = 0,054\, \text{МН} = 0,054 \times 10^{6}\, \text{Н} = 54\,000\, \text{Н} \]
Подставляем:
\[ \frac{3 \times 54,000}{b^2} \leq 180 \times 10^{6}\, \text{Па} \]
\[ \frac{162\,000}{b^2} \leq 180 \times 10^{6} \]
Решаем относительно \(b^2\):
\[ b^2 \geq \frac{162\,000}{180 \times 10^{6}} \]
\[ b^2 \geq \frac{162\,000}{180\,000\,000} = \frac{162}{180\,000} \approx 0,0009\, \text{м}^2 \]
Шаг 6: Определение минимальной стороны \(b\)
Теперь находим \(b\):
\[ b \geq \sqrt{0,0009} \, \text{м} \]
\[ b \geq 0,03\, \text{м} = 3\, \text{см} \]
Ответ:
Минимально допустимый размер стороны квадрата поперечного сечения \(b\), обеспечивающий прочность по допускаемым напряжениям, равен 3 см.
Если нужно более точное рассмотрение или есть особые условия, сообщите.
