Билет №7 1. Теорема Пифагора. 2. Вписанная окружность. Теорема о вписанной окружности. Свойства вписанного четырёхугольника. 3. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 8 см и 4,8 см, а высота, проведённая к стороне АВ, равна 6 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС. 4. Средняя линия КМ треугольника АВС отсекает от него треугольник КВМ, площадь которого равна 10 см2. Найдите площадь треугольника АВС.

Давайте разберем каждую задачу по порядку с объяснениями. Поскольку целей указано "Понять", я подробно объясню каждую задачу. --- ### 1. Теорема Пифагора **Формулировка:** В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. **Запись:** Если треугольник \( ABC \) прямоугольный и угол \( C \) прямой, то: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] **Объяснение:** Это одна из самых известных теорем в геометрии. Она помогает находить длину одного из сторон прямоугольного треугольника, если известны две другие. - **Гипотенуза:** сторона напротив прямого угла. Обычно обозначается \( AB \). - **Катеты:** стороны, образующие прямой угол, обычно обозначаются \( AC \) и \( BC \). **Пример:** Если \( AC = 3 \) см, \( BC = 4 \) см, то \( AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) см. --- ### 2. Вписанная окружность. Теорема о вписанной окружности. Свойства вписанного четырёхугольника **a) Вписанная окружность:** Это окружность, которая касается всех четырех сторон многоугольника. Такой многоугольник называется **вписанным около окружности**. **b) Теорема о вписанной окружности (для треугольника):** В треугольнике существует вписанная окружность, касающаяся всех сторон, и центр этой окружности — точка пересечения биссектрис. **Критерий существования вписанной окружности в четырёхугольнике:** Многоугольник может иметь вписанную окружность, если сумма противоположных сторон равна. То есть, для четырёхугольника \( ABCD \): \[ AB + CD = BC + DA \] **Свойства вписанного четырёхугольника:** - В центре вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов. - Вписанный четырёхугольник — **кисть**, у которого сумма длины противоположных сторон равна. --- ### 3. Задача по треугольникам: > **Дано:** > - \( AB = 8 \text{ см} \) > - \( BC = 4.8 \text{ см} \) > - высота, проведённая к стороне \( AB \), равна 6 см. > — найти высоту, проведённую к стороне \( BC \). **Обозначения:** - Пусть \( h_{AB} = 6 \text{ см} \) — высота к стороне \( AB \). - Обозначим \( h_{BC} \) — искомая высота к стороне \( BC \). - Площадь треугольника можно рассчитать через любую сторону и её высоту: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{сторона} \times \text{высота} \] **Решение:** 1. Найдём площадь треугольника \( ABC \) через сторону \( AB \): \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times h_{AB} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ см}^2 \] 2. Площадь треугольника одинакова при расчёте с любой стороны (площадь постоянна). 3. Используем формулу площади через сторону \( BC \): \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times h_{BC} \] 4. Тогда: \[ h_{BC} = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 24}{4.8} = \frac{48}{4.8} = 10 \text{ см} \] **Ответ:** высота, проведённая к стороне \( BC \), равна **10 см**. --- ### 4. Средняя линия \( KM \) треугольника \( ABC \) **Дано:** - \( KM \) — средняя линия AO треугольника \( ABC \), отсекающая треугольник \( KVM \). - Площадь этого треугольника \( KVM \) равна 10 см². **Задача:** найти площадь всего треугольника \( ABC \). **Объяснение:** - **Средняя линия** в треугольнике — это линия, соединяющая середины двух сторон. - Она делит треугольник на два меньших треугольника площадью, равными между собой. - **Особенность**: площадь треугольника, образованного средней линией, равна половине площади исходного треугольника. **Итак:** - Треугольник \( KVM \) — это часть исходного треугольника \( ABC \). - Площадь \( KVM \) равна \( \frac{1}{4} \) площади \( ABC \), если \( KM \) – средняя линия (она делит треугольник на два равных по площади). Пояснение: Средняя линия в треугольнике делит его на две части одинаковой площади только в случае, если она делит треугольник пополам по площади (например, через середины сторон). **В данном случае,** если: - площадь \( KVM \) равна 10 см², - и она — часть треугольника \( ABC \), которая по условиям равна половине или четверти — зависит от условий. Поскольку точно в условии не указано, что \( KVM \) — половина площади, предположим, что \( KVM \) — это треугольник, образованный средней линией, потому что она делит исходный треугольник на 2 равных по площади части. **Следовательно:** \[ \text{Площадь } ABC = 2 \times \text{Площадь } KVM = 2 \times 10 = 20 \text{ см}^2 \] --- ## Итоговые ответы: 1. Теорема Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \). 2. Вписанная окружность и свойства: В многоугольнике с вписанной окружностью сумма противоположных сторон равна, центр — точка пересечения биссектрис. 3. Высота к стороне \( BC \): **10 см**. 4. Площадь треугольника \( ABC \): **20 см²**. Если нужны дополнительные пояснения или решение других задач, с удовольствием помогу!