(1+√2cos(x+π/4))(tgx-3)=0
Рассмотрим выражение:
\[
(1 + \sqrt{2} \cos(x + \pi/4)) (\tan x - 3) = 0
\]
Это произведение, равное нулю, равносильно тому, что хотя бы один множитель равен нулю. Значит, решаем два уравнения:
- \( 1 + \sqrt{2} \cos(x + \pi/4) = 0 \)
- \( \tan x - 3 = 0 \)
Решение первого уравнения:
\[ 1 + \sqrt{2} \cos(x + \pi/4) = 0 \] Переносим 1 в другую сторону:
\[ \sqrt{2} \cos(x + \pi/4) = -1 \]
Делим обе части на \(\sqrt{2}\):
\[ \cos(x + \pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Обратите внимание, что \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) при:
\[
\theta = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \theta = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k
\]
или, более просто,
\[
\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{и} \quad \frac{5\pi}{4} + 2\pi k
\]
Где \(k \in \mathbb{Z}\).
Поскольку \(\theta = x + \pi/4\), получаем:
\[ x + \pi/4 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \]
и
\[ x + \pi/4 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k \]
Решение второго уравнения:
\[ \tan x - 3 = 0 \Rightarrow \tan x = 3 \]
Общий вид решения:
\[ x = \arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
где \(\arctg 3\) — это основной арктангенс, число примерно равно \(1.249\) радиан.
Итоговые решения:
\[ \boxed{ \begin{aligned} x &= \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x &= \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x &= \arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{aligned} } \]
Это все решения исходного уравнения. Если нужно, можно оставить их в этом виде или привести к числовому значению, если у вас есть конкретный диапазон.
