(1+√2cos(x+π/4))(tgx-3)=0

Рассмотрим выражение: \[ (1 + \sqrt{2} \cos(x + \pi/4)) (\tan x - 3) = 0 \] Это произведение, равное нулю, равносильно тому, что хотя бы один множитель равен нулю. Значит, решаем два уравнения: 1. \( 1 + \sqrt{2} \cos(x + \pi/4) = 0 \) 2. \( \tan x - 3 = 0 \) --- ## Решение первого уравнения: \[ 1 + \sqrt{2} \cos(x + \pi/4) = 0 \] Переносим 1 в другую сторону: \[ \sqrt{2} \cos(x + \pi/4) = -1 \] Делим обе части на \(\sqrt{2}\): \[ \cos(x + \pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Обратите внимание, что \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) при: \[ \theta = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \theta = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \] или, более просто, \[ \theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{и} \quad \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \] Где \(k \in \mathbb{Z}\). Поскольку \(\theta = x + \pi/4\), получаем: \[ x + \pi/4 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \] и \[ x + \pi/4 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k \] ## Решение второго уравнения: \[ \tan x - 3 = 0 \Rightarrow \tan x = 3 \] Общий вид решения: \[ x = \arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] где \(\arctg 3\) — это основной арктангенс, число примерно равно \(1.249\) радиан. --- ## Итоговые решения: \[ \boxed{ \begin{aligned} x &= \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x &= \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x &= \arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{aligned} } \] Это все решения исходного уравнения. Если нужно, можно оставить их в этом виде или привести к числовому значению, если у вас есть конкретный диапазон.