В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120 градусов, АС+АВ=20, найти АС и AB
Давайте решим эту задачу пошагово, объясняя каждый этап. Условия:
- Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом в вершине C.
- Внешний угол при вершине A равен 120°.
- АС + АВ = 20.
Нам нужно найти длины сторон АС и АВ.
Шаг 1: Визуализация и обозначения
Обозначим стороны:
- \( AC = x \)
- \( BC = y \)
- \( AB = z \)
Поскольку C — прямой угол, то: \[ AB = z \text{ — гипотенуза} \] и \[ AC = x, \quad BC = y \]
Шаг 2: Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике: \[ z^2 = x^2 + y^2 \]
Шаг 3: Условие о внешнем угле при вершине A
Обозначим углы:
- \( \angle ABC = \beta \)
- \( \angle ACB = 90^\circ \)
- \( \angle BAC = \alpha \)
Внешний угол при вершине A равен 120°. Внутренний угол \(\alpha\): \[ \alpha = \angle BAC \] Внешний угол при A — это сумма двух внутренних смежных углов, не включающих угол A. Так как: \[ \text{внутренний угол при A} = \alpha \] и угол между сторонами \( AB \) и \( AC \).
Внешний угол при A равен 120°. Он равен сумме двух внутренних углов, не входящих в угол A. Это значит, что: \[ \text{эквивалентно} \quad \text{внешний угол при A} = 180^\circ - \alpha \] или, вернее, внешний угол — это внешний угол при вершине A, а внутри треугольника он равен \(\alpha\). В теории: \[ \text{Внешний угол }A = 180^\circ - \alpha \] По условию: \[ 180^\circ - \alpha = 120^\circ \] откуда: \[ \alpha = 60^\circ \]
Итог:
- \(\angle BAC = 60^\circ\)
Шаг 4: Используем свойства треугольника
Так как \(\angle A = 60^\circ\), углы:
- \( \angle A = 60^\circ \),
- \( \angle C = 90^\circ \),
- \( \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
Значит, треугольник ABC — это прямой треугольник с углами 30°, 60°, 90°.
Для такого треугольника известны отношения сторон:
| Угол | Отношение сторон |
|---|---|
| 30° | гипотенуза = \( 2a \), против 30° = \( a \), против 60° = \( a\sqrt{3} \) |
Где \(a\) — длина стороны, противоположная 30°.
Шаг 5: Назначение сторон
По углам:
- \( \angle A = 60^\circ \), сторона, противоположная \( \angle A \), — это \( BC \),
- \( \angle B = 30^\circ \), сторона, противоположная \( \angle B \), — это \( AC \),
- гипотенуза \( AB \).
Из стандартных пропорций: \[ AC = a \] \[ BC = a\sqrt{3} \] \[ AB = 2a \]
Шаг 6: Используем условие \( AC + AB = 20 \)
Подставим \( AC = a \), \( AB = 2a \):
\[ a + 2a = 20 \] \[ 3a = 20 \] \[ a = \frac{20}{3} \approx 6.67 \]
Теперь найдём остальные стороны:
\[ AC = a = \frac{20}{3} \approx 6.67 \] \[ AB = 2a = \frac{40}{3} \approx 13.33 \] \[ BC = a \sqrt{3} = \frac{20}{3} \times \sqrt{3} = \frac{20 \sqrt{3}}{3} \approx 11.55 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Длина } AC \approx 6.67, \quad \text{Длина } AB \approx 13.33 } \]
или точнее:
\[ \boxed{ AC = \frac{20}{3} \quad \text{и} \quad AB = \frac{40}{3} } \]
Если нужно — можно оставить эти дроби в виде конечных значений.
