Давайте решим задачу пошагово.
Задача:
Рассчитать расстояние от поверхности Земли, на котором гравитационная сила уменьшится в 8,6 раз по сравнению с её значением на поверхности, при радиусе Земли ( R = 6370 \ km ).
Шаг 1: Формула гравитационной силы
Гравитационная сила, действующая на тело на расстоянии ( r ) от центра Земли, задаётся законом всемирного тяготения:
[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
]
где:
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( m_1 ) — масса Земли,
- ( m_2 ) — масса тела
- ( r ) — расстояние от центра Земли до тела.
Настолько важна только отношение сил, поэтому можно рассматривать соотношение:
[
\frac{F_r}{F_0} = \left(\frac{R}{r}\right)^2
]
где:
- ( F_0 ) — сила на поверхности Земли (при ( r = R )),
- ( F_r ) — сила на расстоянии ( r ).
Шаг 2: Условия задачи
Гравитационная сила в точке на расстоянии ( r ) от центра:
[
F_r = F_0 \times \text{коэффициент уменьшения}
]
По условию:
[
F_r = \frac{F_0}{8,6}
]
Подставляем в формулу:
[
\frac{F_0}{8,6} = F_0 \left(\frac{R}{r}\right)^2
]
Отсюда:
[
\frac{1}{8,6} = \left(\frac{R}{r}\right)^2
]
Шаг 3: Решение уравнения
Найдём ( r ):
[
\left(\frac{R}{r}\right)^2 = \frac{1}{8,6}
]
[
\frac{R}{r} = \sqrt{\frac{1}{8,6}} = \frac{1}{\sqrt{8,6}}
]
Следовательно:
[
r = R \times \sqrt{8,6}
]
Посчитаем значение:
[
\sqrt{8,6} \approx 2,932
]
Итак:
[
r \approx 6370 \times 2,932 \approx 18685 \text{ км}
]
Шаг 4: Расстояние от поверхности Земли
Нас интересует расстояние от поверхности (не от центра), то есть:
[
h = r - R
]
[
h \approx 18685 - 6370 \approx 12315 \text{ км}
]
Итог:
Ответ: расстояние от поверхности Земли, на котором гравитационная сила в 8,6 раз меньше силы на поверхности, примерно 12315 км.
Округлим до целого числа: 12315 км.
