К окружности с центром O проведена касательная FK (K точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окрудности равен 14 см а угол FOK=45°

Давайте решим задачу по шагам с объяснениями. **Дано:** - Радиус окружности \( R = 14 \) см - Точка касания \( K \) и касательная \( FK \), касательная проведена в точке \( K \) - Угол \( \angle FOK = 45^\circ \), где \( O \) — центр окружности **Что нужно найти:** - Отрезок \( FK \) --- ### Шаг 1. Понимание геометрической конструкции - Радиус \( OK \) — перпендикуляр к касательной \( FK \) в точке касания \( K \) (свойство касательной к окружности). - Следовательно, \( OK \perp FK \). Обозначим: - \( O \) — центр окружности - \( K \) — точка касания - \( F \) — точка, через которую проведена касательная \( FK \) ### Шаг 2. Анализ треугольника \( OFK \) Из условия: - \( OK \) — радиус = 14 см - \( \angle FOK = 45^\circ \) В треугольнике \( OFK \): - \( OK \) — сторона, известная, равная 14 см - \( OF \) — неизвестно, но это — расстояние от центра до точки \( F \) - \( \angle FOK = 45^\circ \) --- ### Шаг 3. Подсчет длины \( FK \) Так как \( OK \perp FK \), и: - \( OK \) — один из катетов треугольника \( OFK \), - \( \angle FOK = 45^\circ \), можем рассмотреть треугольник \( OFK \), в котором: - \( OK \) — катет, - \( \angle OFK \) — тоже \(45^\circ\)? Нет, в условии указано, что угол \( \angle FOK = 45^\circ \). Так как \( OK \) — радиус, и касательная \( FK \) — перпендикулярна \( OK \), то: - \( OK \perp FK \), - Значит, в треугольнике \( OFK \): \[ \angle OFK = 90^\circ \quad (\text{так как \( OK \) — перпендикуляр к касательной}) \] Но в условии задан \( \angle FOK=45^\circ \), и в этом случае возникает противоречие, если предположить, что треугольник прямой. --- ### **Важный момент:** Опираясь на условие, что \( \angle FOK=45^\circ \), а \(\angle OFK\) в треугольнике \( OFK \) равно \( 90^\circ \), возникает несогласованность. Это говорит о том, что в условии есть особенности. --- ### **Обобщение:** - \( OK \) — радиус, 14 см - \( OF \) — расстояние от центра до точки \( F \) - \( FK \) — касательная к окружности, касательная касается окружности в точке \( K \). Поскольку касательная \( FK \) проходит через точку \( F \) и касается окружности в \( K \): - **\( OK \perp FK \)** в точке \( K \), - \( OF \) — соединяет центр \( O \) с точкой \( F \). --- ### Шаг 4. Использование свойства треугольника \( OFK \) Разобьём треугольник \( OFK \): - \( OK = 14 \) см, - \( \angle FOK = 45^\circ \), - \( OK \) — сторона, прилежащая к углу \( 45^\circ \): В этом случае, по закону косинусов или синусов можно найти \( OF \) и \( FK \). --- ### Шаг 5. Вывод — решение через тригонометрию Пусть \( OF = x \): По свойству треугольника \( OFK \): \[ FK = \text{противолежащая сторона к углу } \angle FOK \] Из треугольника \( OFK \), где \( OK \) — прилежащий катет, и угол \( 45^\circ \): \[ \text{Проекция } OK \text{ на } OF: \quad OK = x \cos 45^\circ \] Но это не совсем так, потому что \( OK \) — стороны, прилежащая к углу \( 45^\circ \), **или более правильно:** Используем синус или косинус для поиска \( FK \): Рассмотрим треугольник \( OFK \): - Гипотенуза: \( OF \) - Катет \( OK =14 \) см (прямой угол в треугольнике при касательной, т.к. \( OK \perp FK \)) - Угол \( \angle FOK=45^\circ \) Тогда, если смотреть на треугольник \( OFK \): \[ \boxed{ FK = OF \sin 45^\circ } \] так как \( FK \) — противолежащая сторона к углу \( 45^\circ \). Также: \[ OK = OF \cos 45^\circ \] Или: \[ 14 = OF \cos 45^\circ \] где \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно: \[ 14 = OF \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] отсюда: \[ OF = \frac{14 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{28}{\sqrt{2}} = 14\sqrt{2} \] Теперь \( FK = OF \sin 45^\circ \): \[ FK = 14\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 14\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 14 \times 1 = 14 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Длина касательной } FK = 14 \text{ см} } \] --- ## Итог: **Длина отрезка \( FK \) равна 14 см.** --- Если есть еще вопросы или что-то осталось непонятным, обращайтесь!