Решы 12 задание

Рассмотрим задачу №12: **Задача:** Первый насос наполнил бассейн объемом 360 м³, а второй — объемом 480 м³. Первый насос перекачивает на 10 м³ воды меньше, чем второй, и работает на 2 часа дольше, чем второй. Какой объем воды перекачивает каждый насос за час? --- **Шаг 1: Обозначим неизвестные величины:** - Пусть \( x \) — объем воды, который перекачивает второй насос за час (м³/час). - Тогда объем воды, перекачиваемый первым насосом за час, равен \( x - 10 \) м³/час (на 10 м³ меньше). **Шаг 2: Обозначим время работы насосов:** - Пусть время работы второго насоса — \( t \) часов. - Тогда время работы первого насоса — \( t + 2 \) часа (на 2 часа больше). --- **Шаг 3: Запишем условия, связанные с перекачанным объемом:** - За время работы второй насос перекачивает: \[ x \times t = 480 \quad \text{(м³)}. \] - За время работы первый насос перекачивает: \[ (x - 10) \times (t + 2) = 360 \quad \text{(м³)}. \] --- **Шаг 4: Получим систему уравнений:** \[ \begin{cases} x t = 480, \\ (x - 10) (t + 2) = 360. \end{cases} \] --- **Шаг 5: Выразим \( t \) из первого уравнения:** \[ t = \frac{480}{x}. \] Подставим это во второе уравнение: \[ (x - 10) \left( \frac{480}{x} + 2 \right) = 360. \] **Шаг 6: Раскроем скобки и упростим:** \[ (x - 10) \left( \frac{480 + 2x}{x} \right) = 360. \] Запишем: \[ (x - 10) \times \frac{480 + 2x}{x} = 360. \] Перемножим: \[ \frac{(x - 10)(480 + 2x)}{x} = 360. \] **Шаг 7: Упростим числитель:** \[ (x - 10)(480 + 2x) = x \times (480 + 2x) - 10 \times (480 + 2x). \] Раскроем: \[ x \times 480 + x \times 2x - 10 \times 480 - 10 \times 2x = 480x + 2x^2 - 4800 - 20x. \] Объединим: \[ 2x^2 + (480x - 20x) - 4800 = 2x^2 + 460x - 4800. \] Подставим обратно: \[ \frac{2x^2 + 460x - 4800}{x} = 360. \] **Шаг 8: Разделим числитель на \( x \):** \[ \frac{2x^2}{x} + \frac{460x}{x} - \frac{4800}{x} = 360, \] что даёт: \[ 2x + 460 - \frac{4800}{x} = 360. \] **Шаг 9: Перенесем все в уравнение:** \[ 2x + 460 - 360 = \frac{4800}{x}. \] Упростим левую часть: \[ 2x + 100 = \frac{4800}{x}. \] **Шаг 10: Умножим обе части уравнения на \( x \):** \[ x (2x + 100) = 4800. \] Раскроем скобки: \[ 2x^2 + 100x = 4800. \] **Шаг 11: Получим квадратичное уравнение:** \[ 2x^2 + 100x - 4800 = 0. \] Разделим уравнение на 2 для упрощения: \[ x^2 + 50x - 2400 = 0. \] --- **Шаг 12: Решим квадратичное уравнение:** Дискриминант: \[ D = 50^2 - 4 \times 1 \times (-2400) = 2500 + 9600 = 12100. \] Корни: \[ x = \frac{-50 \pm \sqrt{12100}}{2} = \frac{-50 \pm 110}{2}. \] Расчёт: - Первый корень: \[ x = \frac{-50 + 110}{2} = \frac{60}{2} = 30. \] - Второй корень: \[ x = \frac{-50 - 110}{2} = \frac{-160}{2} = -80. \] Так как объем воды за час не может быть отрицательным, принимаем только положительный корень: \[ x = 30 \text{ м}^3/час. \] --- **Шаг 13: Найдём время работы второго насоса:** \[ t = \frac{480}{x} = \frac{480}{30} = 16 \text{ часов}. \] Тогда время работы первого насоса: \[ t + 2 = 16 + 2 = 18 \textьев. \] --- ****Ответ:**** - Второй насос перекачивает 30 м³ воды за час. - Первый насос перекачивает \( 30 - 10 = 20 \) м³ воды за час. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее — скажите!