Решы 12 задание
Рассмотрим задачу №12:
Задача:
Первый насос наполнил бассейн объемом 360 м³, а второй — объемом 480 м³. Первый насос перекачивает на 10 м³ воды меньше, чем второй, и работает на 2 часа дольше, чем второй. Какой объем воды перекачивает каждый насос за час?
Шаг 1: Обозначим неизвестные величины:
- Пусть \( x \) — объем воды, который перекачивает второй насос за час (м³/час).
- Тогда объем воды, перекачиваемый первым насосом за час, равен \( x - 10 \) м³/час (на 10 м³ меньше).
Шаг 2: Обозначим время работы насосов:
- Пусть время работы второго насоса — \( t \) часов.
- Тогда время работы первого насоса — \( t + 2 \) часа (на 2 часа больше).
Шаг 3: Запишем условия, связанные с перекачанным объемом:
- За время работы второй насос перекачивает:
\[ x \times t = 480 \quad \text{(м³)}. \] - За время работы первый насос перекачивает:
\[ (x - 10) \times (t + 2) = 360 \quad \text{(м³)}. \]
Шаг 4: Получим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x t = 480, \\
(x - 10) (t + 2) = 360.
\end{cases}
\]
Шаг 5: Выразим \( t \) из первого уравнения:
\[
t = \frac{480}{x}.
\]
Подставим это во второе уравнение:
\[
(x - 10) \left( \frac{480}{x} + 2 \right) = 360.
\]
Шаг 6: Раскроем скобки и упростим:
\[
(x - 10) \left( \frac{480 + 2x}{x} \right) = 360.
\]
Запишем:
\[
(x - 10) \times \frac{480 + 2x}{x} = 360.
\]
Перемножим:
\[
\frac{(x - 10)(480 + 2x)}{x} = 360.
\]
Шаг 7: Упростим числитель:
\[
(x - 10)(480 + 2x) = x \times (480 + 2x) - 10 \times (480 + 2x).
\]
Раскроем:
\[
x \times 480 + x \times 2x - 10 \times 480 - 10 \times 2x = 480x + 2x^2 - 4800 - 20x.
\]
Объединим:
\[
2x^2 + (480x - 20x) - 4800 = 2x^2 + 460x - 4800.
\]
Подставим обратно:
\[
\frac{2x^2 + 460x - 4800}{x} = 360.
\]
Шаг 8: Разделим числитель на \( x \):
\[
\frac{2x^2}{x} + \frac{460x}{x} - \frac{4800}{x} = 360,
\]
что даёт:
\[
2x + 460 - \frac{4800}{x} = 360.
\]
Шаг 9: Перенесем все в уравнение:
\[
2x + 460 - 360 = \frac{4800}{x}.
\]
Упростим левую часть:
\[
2x + 100 = \frac{4800}{x}.
\]
Шаг 10: Умножим обе части уравнения на \( x \):
\[
x (2x + 100) = 4800.
\]
Раскроем скобки:
\[
2x^2 + 100x = 4800.
\]
Шаг 11: Получим квадратичное уравнение:
\[
2x^2 + 100x - 4800 = 0.
\]
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
\[
x^2 + 50x - 2400 = 0.
\]
Шаг 12: Решим квадратичное уравнение:
Дискриминант:
\[
D = 50^2 - 4 \times 1 \times (-2400) = 2500 + 9600 = 12100.
\]
Корни:
\[
x = \frac{-50 \pm \sqrt{12100}}{2} = \frac{-50 \pm 110}{2}.
\]
Расчёт:
- Первый корень:
\[ x = \frac{-50 + 110}{2} = \frac{60}{2} = 30. \] - Второй корень:
\[ x = \frac{-50 - 110}{2} = \frac{-160}{2} = -80. \]
Так как объем воды за час не может быть отрицательным, принимаем только положительный корень:
\[
x = 30 \text{ м}^3/час.
\]
Шаг 13: Найдём время работы второго насоса:
\[
t = \frac{480}{x} = \frac{480}{30} = 16 \text{ часов}.
\]
Тогда время работы первого насоса:
\[
t + 2 = 16 + 2 = 18 \textьев.
\]
Ответ:
- Второй насос перекачивает 30 м³ воды за час.
- Первый насос перекачивает \( 30 - 10 = 20 \) м³ воды за час.
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее — скажите!
