Конечно! Вот подробные решения для всех заданий.
Задача 1. Представьте в виде многочлена выражения:
1) (p + 8)^2
Решение:
Используем формулу квадрата суммы:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
Здесь (a = p), (b = 8)
[
(p + 8)^2 = p^2 + 2 \times p \times 8 + 8^2 = p^2 + 16p + 64
]
Ответ: (\boxed{p^2 + 16p + 64})
2) (10x - 3y)^2
Решение:
Используем ту же формулу:
[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
]
Здесь (a=10x), (b=3y):
[
(10x - 3y)^2 = (10x)^2 - 2 \times 10x \times 3y + (3y)^2 = 100x^2 - 60xy + 9y^2
]
Ответ: (\boxed{100x^2 - 60xy + 9y^2})
3) (x - 9)(x + 9)
Решение:
Это разность квадратов: (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))
Значит:
[
(x - 9)(x + 9) = x^2 - 9^2 = x^2 - 81
]
Ответ: (\boxed{x^2 - 81})
4) (4m + 7n)(7n - 4m)
Решение:
Это тоже разность квадратов:
[
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
]
Здесь (a = 7n), (b=4m)
[
(4m + 7n)(7n - 4m) = (7n)^2 - (4m)^2 = 49n^2 - 16m^2
]
Ответ: (\boxed{49n^2 - 16m^2})
Задача 2. Разложите на множители:
1) (16 - c^2)
Решение:
Это разность квадратов:
[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
]
Здесь (a=4), (b=c):
[
16 - c^2 = (4 - c)(4 + c)
]
Ответ: (\boxed{(4 - c)(4 + c)})
2) (p^2 + 2p + 1)
Решение:
Это квадрат полного выражения:
[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
]
Здесь (a=p), (b=1):
[
p^2 + 2p + 1 = (p + 1)^2
]
Ответ: (\boxed{(p + 1)^2})
3) (9m^2 - 25)
Решение:
Разность квадратов:
[
(3m)^2 - 5^2 = (3m - 5)(3m + 5)
]
Ответ: (\boxed{(3m - 5)(3m + 5)})
4) (36m^2 + 24mn + 4n^2)
Решение:
Можно вынести общий множитель 4:
[
4(9m^2 + 6mn + n^2)
]
Внутри — квадрат сумм:
[
9m^2 + 6mn + n^2 = (3m + n)^2
]
Итог:
[
\boxed{4(3m + n)^2}
]
Задача 3. Упростите выражение: ((a - 10)^2 - (a - 5)(a + 5))
Решение:
- Раскроем квадраты:
[
(a - 10)^2 = a^2 - 20a + 100
]
- Раскроем произведение разностей и сумм:
[
(a - 5)(a + 5) = a^2 - 25
]
- Подставим:
[
a^2 - 20a + 100 - (a^2 - 25) = a^2 - 20a + 100 - a^2 + 25
]
- Упростим:
[
-20a + (100 + 25) = -20a + 125
]
Ответ: (\boxed{-20a + 125})
Задача 4. Решите уравнение: ((5 - x)^2 - x(2.5 + x) = 0)
Решение:
- Раскроем квадраты:
[
(5 - x)^2 = 25 - 10x + x^2
]
- Раскроем произведение:
[
x(2.5 + x) = 2.5x + x^2
]
- Запишем уравнение полностью:
[
25 - 10x + x^2 - (2.5x + x^2) = 0
]
- Раскроем скобки:
[
25 - 10x + x^2 - 2.5x - x^2 = 0
]
- Упростим:
[
25 - 10x - 2.5x = 0
]
[
25 - 12.5x = 0
]
- Решим относительно (x):
[
12.5x = 25
]
[
x = \frac{25}{12.5} = 2
]
Ответ: (\boxed{x=2})
Задача 5. Выполните действия:
а) ((2a - b^2)(2a + b^2))
Решение:
Это разность квадратов:
[
(a - b)^2 = a^2 - b^2
]
Значит:
[
(2a)^2 - (b^2)^2 = 4a^2 - b^4
]
Ответ: (\boxed{4a^2 - b^4})
б) ((x - 6x^3)^2)
Решение:
Применяем формулу квадрата разности:
[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
]
Здесь (a = x), (b = 6x^3):
[
(x - 6x^3)^2 = x^2 - 2 \times x \times 6x^3 + (6x^3)^2
]
[
= x^2 - 12x^4 + 36x^6
]
Ответ: (\boxed{x^2 - 12x^4 + 36x^6})
в) ((y + b)^2 * (y - b)^2)
Решение:
Это произведение квадратов разностей и сумм:
[
(y + b)^2 (y - b)^2 = [(y + b)(y - b)]^2
]
Но произведение ((y + b)(y - b) = y^2 - b^2).
Значит:
[
(y^2 - b^2)^2
]
Раскроем:
[
(y^2)^2 - 2 y^2 b^2 + b^4 = y^4 - 2 y^2 b^2 + b^4
]
Ответ: (\boxed{(y^2 - b^2)^2})
Если вам нужно объяснение по какому-либо из решений более подробно — скажите!
