Решите рациональным способом

Давайте решим данное выражение рациональным способом. Ваша задача — упростить сумму дробей:

\[ \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + \frac{1}{5.6} + \frac{1}{6.7} + \frac{1}{7.8} + \frac{1}{8.9} + \frac{1}{9.10} \]

Сначала заметим, что дроби имеют виду \(\frac{1}{n(n+1)}\). Проверим, так ли это:

• \(\frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 \times 2}\)
• \(\frac{1}{2.3} = \frac{1}{2 \times 3}\)
• \(\frac{1}{3.4} = \frac{1}{3 \times 4}\)
• и так далее.

Да, так и есть. Поэтому каждый член — это дромь вида \(\frac{1}{n(n+1)}\). Теперь используем разложение на простые дроби:

\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]

Проверим это:

\[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1 - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} \]

Итак, сумма превращается в телескопическую сумму:

\[ \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \]

Распишем:

\[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) \]

Обратите внимание, что практически все слагаемые сокращаются:

• \(- \frac{1}{2}\) и \(+ \frac{1}{2}\) сокращаются
• \(- \frac{1}{3}\) и \(+ \frac{1}{3}\) сокращаются
• и так далее, до \(- \frac{1}{9}\) и \(+ \frac{1}{9}\)

Что остается?

\[ 1 - \frac{1}{10} \]

Посчитаем это:

\[ 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \]

Ответ: сумма данных дробей равна \(\boxed{\frac{9}{10}}\)

Если нужно — можно выразить и в десятичной форме: 0.9.

Если возникнут дополнительные вопросы — обращайтесь!