Решите рациональным способом

Давайте решим данное выражение рациональным способом. Ваша задача — упростить сумму дробей: \[ \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{4.5} + \frac{1}{5.6} + \frac{1}{6.7} + \frac{1}{7.8} + \frac{1}{8.9} + \frac{1}{9.10} \] Сначала заметим, что дроби имеют виду \(\frac{1}{n(n+1)}\). Проверим, так ли это: - \(\frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 \times 2}\) - \(\frac{1}{2.3} = \frac{1}{2 \times 3}\) - \(\frac{1}{3.4} = \frac{1}{3 \times 4}\) - и так далее. Да, так и есть. Поэтому каждый член — это дромь вида \(\frac{1}{n(n+1)}\). Теперь используем разложение на простые дроби: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Проверим это: \[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1 - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} \] Итак, сумма превращается в телескопическую сумму: \[ \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] Распишем: \[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) \] Обратите внимание, что практически все слагаемые сокращаются: - \(- \frac{1}{2}\) и \(+ \frac{1}{2}\) сокращаются - \(- \frac{1}{3}\) и \(+ \frac{1}{3}\) сокращаются - и так далее, до \(- \frac{1}{9}\) и \(+ \frac{1}{9}\) Что остается? \[ 1 - \frac{1}{10} \] Посчитаем это: \[ 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \] **Ответ:** сумма данных дробей равна \(\boxed{\frac{9}{10}}\) Если нужно — можно выразить и в десятичной форме: 0.9. Если возникнут дополнительные вопросы — обращайтесь!