у=−x 2 −2x+5 y = x 2 + 4 x + 5 y=x 2 +4x+5 найти площадь фигур ограниченых фигур
Здравствуйте! Судя по вашему запросу, задача связана с нахождением площади фигуры, ограниченной линиями. В данном случае у вас есть две функции:
\[ y = -x^2 - 2x + 5 \] и \[ y = x^2 + 4x + 5 \]
Давайте пошагово разберемся, как найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками.
Шаг 1. Построим графики функций
Это параболы:
- Первая функция \( y = -x^2 - 2x + 5 \) — парабола, направления вниз (коэффициент перед \(x^2\) отрицателен).
- Вторая функция \( y = x^2 + 4x + 5 \) — парабола, направлена вверх.
Шаг 2. Найдем точки пересечения двух графиков
Решаем уравнение:
\[ - x^2 - 2x + 5 = x^2 + 4x + 5 \]
Перенесем все члены в левую сторону:
\[ - x^2 - 2x + 5 - x^2 - 4x - 5 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ -2x^2 - 6x = 0 \]
Вынесем за скобки \( -2x \):
\[ -2x (x + 3) = 0 \]
Отсюда:
\[ -2x = 0 \Rightarrow x = 0 \] или \[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \]
Шаг 3. Найдём соответствующие значения \( y \)
Подставляем \( x = 0 \):
\[ y = -0^2 - 2 \cdot 0 + 5 = 5 \] или \[ y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 5 = 5 \]
Подставляем \( x = -3 \):
\[ y = -(-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 5 = -9 + 6 + 5 = 2 \]
или
\[ y = (-3)^2 + 4 \cdot (-3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2 \]
Точки пересечения: \((0,5)\) и \((-3,2)\).
Шаг 4. Построим схему и запишем условные графики
Графики пересекаются в точках:
- \((-3, 2)\)
- \( (0, 5) \)
Область, ограниченная этими линиями, — фигура, образуемая между этими двумя параболами, от \( x = -3 \) до \( x = 0 \).
Шаг 5. Выразим площадь
Площадь — это интеграл разницы функций по найденному промежутку:
\[ S = \int_{x=-3}^{0} [ (x^2 + 4x + 5) - (-x^2 - 2x + 5) ] \, dx \]
Обратите внимание, что я взял верхнюю функцию \( y = x^2 + 4x + 5 \) и вычел нижнюю \( y = -x^2 - 2x + 5 \), потому что график второй функции расположен выше (на промежутке).
Шаг 6. Упростим выражение под интегралом
Рассчитаем внутри скобок:
\[ x^2 + 4x + 5 - (-x^2 - 2x + 5) = x^2 + 4x + 5 + x^2 + 2x - 5 \]
Объединяем подобные:
\[ 2x^2 + 6x \]
Итак,
\[ S = \int_{-3}^{0} (2x^2 + 6x) \, dx \]
Шаг 7. Вычислим интеграл
Интегрируем по отдельности:
\[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3} x^3 \]
\[ \int 6x \, dx = 3x^2 \]
Итак,
\[ S = \left[ \frac{2}{3} x^3 + 3x^2 \right]_{-3}^{0} \]
Подставляем верхний предел \( x=0 \):
\[ \frac{2}{3} \cdot 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0 \]
Подставляем нижний предел \( x=-3 \):
\[ \frac{2}{3} \cdot (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 = \frac{2}{3} \cdot (-27) + 3 \cdot 9 = - \frac{54}{3} + 27 = -18 + 27 = 9 \]
Теперь вычитаем:
\[ S = 0 - (-9) = 9 \]
Ответ:
Площадь фигуры, ограниченной двумя параболами, равна 9 единицам площади.
Если нужны дополнительные объяснения или есть вопросы — обращайтесь!
