2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, sinA = √7/4. Найдите sinB
Разрешите, я помогу вам с этой задачей по геометрии. Вот подробное решение с объяснениями.
Дано:
- В треугольнике \( ABC \) угол \( C = 90^\circ \)
- \( \sin A = \frac{\sqrt{7}}{4} \)
Найти: \( \sin B \)
Шаг 1: Используем свойства треугольника с прямым углом
В прямом треугольнике сумма острых углов равна 90°:
\[ A + B + C = 180^\circ \] \[ A + B + 90^\circ = 180^\circ \] \[ A + B = 90^\circ \]
Это значит, что углы \( A \) и \( B \) — дополнительные (сумма равна 90°), и:
\[ B = 90^\circ - A \]
Шаг 2: Свойство синуса и косинуса при дополняющих углах
Из тригонометрии известно, что:
\[ \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \]
Поэтому:
\[ \sin B = \sin (90^\circ - A) = \cos A \]
Следовательно, чтобы найти \( \sin B \), нужно найти \( \cos A \).
Шаг 3: Вычислим \( \cos A \) по известному значению \( \sin A \)
Дано:
\[ \sin A = \frac{\sqrt{7}}{4} \]
Из тригонометрической формулы:
\[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]
Подставим значение \( \sin A \):
\[ \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 + \cos^2 A = 1 \]
Рассчитаем \( \sin^2 A \):
\[ \frac{7}{16} + \cos^2 A = 1 \]
Перенесём:
\[ \cos^2 A = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} \]
Теперь найдём \( \cos A \):
\[ \cos A = \pm \frac{3}{4} \]
Так как угол \( A \) — острый (так как \( \sin A > 0 \) и он принадлежит треугольнику), то:
\[ \cos A > 0 \]
Следовательно:
\[ \cos A = \frac{3}{4} \]
Шаг 4: Найдём \( \sin B \)
Как установлено ранее:
\[ \sin B = \cos A = \frac{3}{4} \]
Ответ:
\[ \boxed{\sin B = \frac{3}{4}} \]
Если что-то осталось непонятным или нужно более подробно — скажите!
