На факультете иностранных языков есть три кружка для студентов: кружок испанского языка, французского языка и немецкого языка. В кружке испанского языка занимается 27 27…
На факультете иностранных языков есть три кружка для студентов: кружок испанского языка, французского языка и немецкого языка. В кружке испанского языка занимается 27 27 студентов, в кружке французского — 28 28 студентов, немецкого — 15 15 студентов. 10 10 студентов занимаются и испанским, и французским, 7 7 — и испанским, и немецким, 5 5 занимаются и французским, и немецким языками. Известно, что 2 2 студента изучают все три языка одновременно. Сколько всего студентов посещают эти кружки, если каждый студент посещает хотя бы один языковой кружок? Запиши в поле ответа верное число.
Давайте решим задачу по шагам, используя понятие теории множеств.
Обозначим:
- \( A \) — множество студентов, изучающих испанский язык,
- \( B \) — множество студентов, изучающих французский язык,
- \( C \) — множество студентов, изучающих немецкий язык.
По условию:
- \( |A| = 27 \),
- \( |B| = 28 \),
- \( |C| = 15 \),
- \( |A \cap B| = 10 \),
- \( |A \cap C| = 7 \),
- \( |B \cap C| = 5 \),
- \( |A \cap B \cap C| = 2 \).
Нам нужно найти общее число студентов, посещающих хотя бы один кружок, то есть \( |A \cup B \cup C| \).
Для этого используем формулу включений-исключений:
\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \]
Подставим данные:
\[ |A \cup B \cup C| = 27 + 28 + 15 - 10 - 7 - 5 + 2. \]
Выполним операции шаг за шагом:
Сумма всех по отдельности:
\( 27 + 28 + 15 = 70 \).Вычитаем попарные пересечения:
\( 10 + 7 + 5 = 22 \).Добавляем тройное пересечение (так как оно убрано три раза, а по условию оно есть):
\( + 2 \).
Итого:
\[ 70 - 22 + 2 = 50. \]
Ответ: 50.
Следовательно, всего студентов, посещающих эти кружки, — 50.
