На факультете иностранных языков есть три кружка для студентов: кружок испанского языка, французского языка и немецкого языка. В кружке испанского языка занимается  27 27 студентов, в кружке французского —  28 28 студентов, немецкого —  15 15 студентов.  10 10 студентов занимаются и испанским, и французским,  7 7 — и испанским, и немецким,  5 5 занимаются и французским, и немецким языками. Известно, что  2 2 студента изучают все три языка одновременно. Сколько всего студентов посещают эти кружки, если каждый студент посещает хотя бы один языковой кружок? Запиши в поле ответа верное число.

Давайте решим задачу по шагам, используя понятие теории множеств. Обозначим: - \( A \) — множество студентов, изучающих испанский язык, - \( B \) — множество студентов, изучающих французский язык, - \( C \) — множество студентов, изучающих немецкий язык. По условию: - \( |A| = 27 \), - \( |B| = 28 \), - \( |C| = 15 \), - \( |A \cap B| = 10 \), - \( |A \cap C| = 7 \), - \( |B \cap C| = 5 \), - \( |A \cap B \cap C| = 2 \). Нам нужно найти общее число студентов, посещающих хотя бы один кружок, то есть \( |A \cup B \cup C| \). Для этого используем формулу включений-исключений: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|. \] Подставим данные: \[ |A \cup B \cup C| = 27 + 28 + 15 - 10 - 7 - 5 + 2. \] Выполним операции шаг за шагом: 1. Сумма всех по отдельности: \( 27 + 28 + 15 = 70 \). 2. Вычитаем попарные пересечения: \( 10 + 7 + 5 = 22 \). 3. Добавляем тройное пересечение (так как оно убрано три раза, а по условию оно есть): \( + 2 \). Итого: \[ 70 - 22 + 2 = 50. \] **Ответ: 50.** **Следовательно, всего студентов, посещающих эти кружки, — 50.**