На занятиях кружка по физике Петя решил изучить, как жёсткость системы одинаковых пружин, соединённых параллельно, зависит от их количества. Для этого он подвесил на шесть вертикальных параллельно соединённых пружин груз массой 120 г. в затем, убирая по одной пружние, следил за изменением удлинения оставшихся. В таблице представлена зависимость растяжения параллельно соединённых пружин от их числа.
Количество пружин
6
5
4
3
2
Растяжение пружины, мм
5
6
7,5
10
15
30
Какой вывод о зависимости жесткости системы параллельно соединённых одинаковых пружин от их количества можно сделать по представленным результатам исследования? Ответ поясните.
Давайте подробно разберём задачу и сделаем логический вывод по зависимости жёсткости системы из данных исследования.
### Шаг 1. Что такое жесткость системы из параллельно соединённых пружин?
Жесткость пружины или системы пружин — это характеристика, показывающая, насколько сильно пружина сопротивляется растяжению. Обозначим жесткость системы как \(k_{общ}\).
Для параллельного соединения нескольких одинаковых пружин:
\[
k_{общ} = k_1 + k_2 + \dots + k_n
\]
Поскольку пружины одинаковые, то
\[
k_{общ} = n \times k_{пр}
\]
где:
- \( n \) — количество пружин,
- \( k_{пр} \) — жесткость одной пружины.
### Шаг 2. Связь между силой, растяжением и жесткостью
Согласно закону Гука:
\[
F = k_{общ} \times \Delta l
\]
где:
- \(F\) — сила (в данном случае масса грузика),
- \(\Delta l\) — растяжение.
Из условия задачи нам дано:
- вес груза \(m = 120\) г = 0,12 кг,
- ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\, \text{м/с}^2\),
- сила \(F = m \times g = 0,12 \times 9,8 = 1,176\, \text{Н}\).
Также даны растяжения при разном числе пружин:
| Кол-во пружин | \(\Delta l\), мм | \(\Delta l\), м |
|----------------|------------------|--------------|
| 6 | 5 | 0,005 |
| 5 | 6 | 0,006 |
| 4 | 7,5 | 0,0075 |
| 3 | 10 | 0,010 |
| 2 | 15 | 0,015 |
| 1 | 30 | 0,030 |
### Шаг 3. Вычисление жесткости системы для каждого варианта
Из закона Гука:
\[
k_{общ} = \frac{F}{\Delta l}
\]
Рассчитаем:
| Кол-во пружин | \(\Delta l\), м | \(k_{общ}\), Н/м |
|----------------|------------------|----------------|
| 6 | 0,005 | \( \frac{1,176}{0,005} = 235,2 \) |
| 5 | 0,006 | \( \frac{1,176}{0,006} \approx 196,0 \) |
| 4 | 0,0075 | \( \frac{1,176}{0,0075} = 156,8 \) |
| 3 | 0,010 | \( \frac{1,176}{0,010} = 117,6 \) |
| 2 | 0,015 | \( \frac{1,176}{0,015} = 78,4 \) |
| 1 | 0,030 | \( \frac{1,176}{0,030} = 39,2 \) |
Теперь посмотрим на жесткость системы при разном количестве пружин.
### Шаг 4. Анализ зависимости
Если пружины соединены параллельно, жесткость системы должна пропорционально числу пружин \(n\):
\[
k_{общ} = n \times k_{пр}
\]
Предположим, что \(k_{пр}\) — жесткость одной пружины. Тогда:
\[
k_{пр} = \frac{k_{общ}}{n}
\]
Проверим для каждого варианта:
| Кол-во пружин | \(k_{общ}\), Н/м | \(k_{пр} = \frac{k_{общ}}{n}\), Н/м |
|----------------|----------------|----------------------------------|
| 6 | 235,2 | \( \frac{235,2}{6} \approx 39,2 \) |
| 5 | 196,0 | \( \frac{196}{5} = 39,2 \) |
| 4 | 156,8 | \( \frac{156,8}{4} = 39,2 \) |
| 3 | 117,6 | \( \frac{117,6}{3} = 39,2 \) |
| 2 | 78,4 | \( \frac{78,4}{2} = 39,2 \) |
| 1 | 39,2 | \( \frac{39,2}{1} = 39,2 \) |
Заметим, что значение \(k_{пр}\) — жесткости одной пружины — оказывается почти одинаковым во всех случаях (~39,2 Н/м)!
### **Вывод:**
**Жёсткость системы при параллельном соединении одинаковых пружин растёт пропорционально количеству пружин.**
Иными словами:
\[
k_{общ} \propto n
\]
То есть, чем больше пружин соединено параллельно, тем выше жёсткость всей системы, и она увеличивается пропорционально числу пружин.
---
Если есть необходимость, могу помочь с более компактным ответом или дополнительными объяснениями!
