Периметр равнобедренного треугольника равен 37см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Рассмотрим задачу поэтапно.

Дано:

• Периметр равнобедренного треугольника: \( P = 37\, \text{см} \)
• Разность двух сторон: 4 см
• Один из внешних углов острый (это говорит о том, что соответствующий внутренний угол равен менее 90°)

Обозначим стороны треугольника:

• Пусть две равные стороны — это \( a \)
• Третья сторона — \( b \)

Так как треугольник равнобедренный, то две равные стороны могут быть либо \( a \), либо \( b \). Обычно, принято обозначать равные стороны одной буквой.

Шаг 1: Запись условий

Обозначим так:

• Две равные стороны — \( a \)
• Разность двух сторон равна 4 см.

При этом, так как разность двух сторон равна 4 см, есть два варианта:

1. \( a - b = 4 \) (если \( a > b \))
2. \( b - a = 4 \) (если \( b > a \))

Поскольку стороны равнобедренного треугольника — это либо \( a \) и \( a \), либо \( b \) и \( b \). Тогда:

• В первом случае: стороны \( a, a, b \)
• Во втором случае: стороны \( a, a, b \), где \( b \) — отличная и длиннее/короче стороны.

Если одна сторона — \( a \), а другая — \( b \), и разница равна 4, то:

• \( a = b + 4 \) (если \( a > b \))
• \( b = a + 4 \) (если \( b > a \))

Также, учитывая равнобедренность, две одинаковые стороны — либо обе равны \( a \), либо обе равны \( b \). Значит:

• Вариант 1: равно \( a, a \) и третья — \( b \)
• Вариант 2: равно \( b, b \) и третья — \( a \)

Нам нужно проверить оба варианта.

Шаг 2: Запись условий по периметру

Общий периметр: \[ 2a + b = 37 \quad \text{(если равные стороны — \( a \))} \\ \text{или} \\ 2b + a = 37 \quad \text{(если равные стороны — \( b \))} \]

Рассмотрим первый вариант:

Вариант 1: стороны \( a, a, b \), с \( a - b = 4 \)

Тогда \( b = a - 4 \).

Подставим в периметр: \[ 2a + (a - 4) = 37 \\ 3a - 4 = 37 \\ 3a = 41 \\ a = \frac{41}{3} \approx 13.67 \] Тогда \( b = a - 4 \approx 13.67 - 4 = 9.67 \).

Проверим треугольное неравенство:

• сумма любых двух сторон > третья:
  \( a + a = 27.34 \), тогда \( 27.34 > 9.67 \) — верно.
  \( a + b = 13.67 + 9.67 = 23.34 \), тогда \( 23.34 > 13.67 \) — верно.
  \( a + b = 23.34 \) и это больше \( a \) или \( b \). Все условия соблюдены.

Теперь проверим угол:

• Один внешний угол острый.
  Угол наружный равен сумме двух внутренних противолежащих углов не смежных сторон. У наружного угла, опирающегося на сторону \( a \), внутренний угол равен менее 90°, если внутренний угол — острый.
  Так как у нас равнобедренный треугольник, внутренние углы при равных сторонах равны. При этом, чтобы внешний угол был острым, внутренний угол при стороне \( a \) должен быть менее 90° — что возможно, при найденных значениях.

Второй вариант:

Вариант 2: стороны \( a, a, b \), с \( b - a = 4 \)

Тогда \( b = a + 4 \).
Подставим в периметр: \[ 2a + (a + 4) = 37 \\ 3a + 4 = 37 \\ 3a = 33 \\ a = 11 \\ b = 11 + 4 = 15 \] Проверим неравенство: \[ 2a = 22, \quad b = 15 \\ \] Сумма двух равных сторон: \[ 22 > 15 \quad \text{(верно)} \\ \] Параметры подходят.

Итоговые стороны:

• В первом случае: приблизительно \( a \approx 13.67 \), \( b \approx 9.67 \)
• Во втором случае: \( a=11 \), \( b=15 \)

Выбор решения

Из условий о внешнем угле — острый — более вероятен случай, где один из внутренних углов острый. Вариант с \( a=11 \), \( b=15 \) имеет более "логичную" комбинацию для этого условия, так как стороны целые числа и легко определяются.

---

Итог:

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Стороны треугольника: } 11\, \text{см},\, 11\, \text{см} \text{ и } 15\, \text{см} } \]

Это стороны равнобедренного треугольника с периметром 37 см, разницей двух сторон 4 см, и одним наружным углом острым.