Найдите максимум функции y=23-64x x³/3

Конечно, давайте подробно решим задачу: найти максимум функции \( y = 23 - 64x + \frac{x^3}{3} \). --- ### Шаг 1: Запись функции Функция: \[ y(x) = 23 - 64x + \frac{x^3}{3} \] --- ### Шаг 2: Найти критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует #### Вычислим первую производную \( y'(x) \): \[ y'(x) = \frac{d}{dx}\left(23 - 64x + \frac{x^3}{3}\right) \] Производная каждого слагаемого: - \( \frac{d}{dx}(23) = 0 \) - \( \frac{d}{dx}(-64x) = -64 \) - \( \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) = \frac{3x^2}{3} = x^2 \) Итак, \[ y'(x) = -64 + x^2 \] --- ### Шаг 3: Найти критические точки, решая уравнение \( y'(x) = 0 \) \[ -64 + x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8 \] Критические точки: \( x = 8 \) и \( x = -8 \). --- ### Шагон 4: Определить виды критических точек — максимум или минимум Для этого возьмём вторую производную: \[ y''(x) = \frac{d}{dx} y'(x) = \frac{d}{dx}(-64 + x^2) = 2x \] Подставляем значения критических точек: - Для \( x = 8 \): \[ y''(8) = 2 \times 8 = 16 > 0 \] Это означает, что в точке \( x=8 \) функция имеет **минимум**. - Для \( x = -8 \): \[ y''(-8) = 2 \times (-8) = -16 < 0 \] Это означает, что в точке \( x=-8 \) функция достигает **максимума**. --- ### Шаг 5: Вычисляем значение функции в точках критических точек - В точке максимума \( x = -8 \): \[ y(-8) = 23 - 64(-8) + \frac{(-8)^3}{3} \] Рассчитаем по частям: \[ -64 \times (-8) = 512 \] \[ (-8)^3 = -512 \] \[ \frac{-512}{3} = -\frac{512}{3} \] Теперь сложим все: \[ y(-8) = 23 + 512 - \frac{512}{3} \] Приведем к общему знаменателю: \[ 23 + 512 = 535 \] \[ y(-8) = 535 - \frac{512}{3} = \frac{535 \times 3}{3} - \frac{512}{3} = \frac{1605 - 512}{3} = \frac{1093}{3} \] - В точке минимума \( x = 8 \): \[ y(8) = 23 - 64 \times 8 + \frac{8^3}{3} \] Рассчитаем: \[ -64 \times 8 = -512 \] \[ 8^3 = 512 \] \[ \frac{512}{3} \] Тогда: \[ y(8) = 23 - 512 + \frac{512}{3} = (23 - 512) + \frac{512}{3} = -489 + \frac{512}{3} \] Объединим в дроби: \[ -489 = -\frac{1467}{3} \] \[ y(8) = -\frac{1467}{3} + \frac{512}{3} = \frac{-1467 + 512}{3} = \frac{-955}{3} \] --- ### **Ответ:** - **Максимум функции** достигается при \( x = -8 \), и его значение равно: \[ \boxed{\frac{1093}{3} \approx 364.33} \] - **Минимум** — при \( x=8 \), значение: \[ \boxed{-\frac{955}{3} \approx -318.33} \] --- Если нужно, я могу помочь и с графиком или более подробным объяснением.