найдите максимум функции y=23-64x x³/3
Конечно, давайте подробно решим задачу: найти максимум функции \( y = 23 - 64x + \frac{x^3}{3} \).
Шаг 1: Запись функции
Функция:
\[ y(x) = 23 - 64x + \frac{x^3}{3} \]
Шаг 2: Найти критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует
Вычислим первую производную \( y'(x) \):
\[ y'(x) = \frac{d}{dx}\left(23 - 64x + \frac{x^3}{3}\right) \]
Производная каждого слагаемого:
- \( \frac{d}{dx}(23) = 0 \)
- \( \frac{d}{dx}(-64x) = -64 \)
- \( \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) = \frac{3x^2}{3} = x^2 \)
Итак,
\[ y'(x) = -64 + x^2 \]
Шаг 3: Найти критические точки, решая уравнение \( y'(x) = 0 \)
\[ -64 + x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8 \]
Критические точки: \( x = 8 \) и \( x = -8 \).
Шагон 4: Определить виды критических точек — максимум или минимум
Для этого возьмём вторую производную:
\[ y''(x) = \frac{d}{dx} y'(x) = \frac{d}{dx}(-64 + x^2) = 2x \]
Подставляем значения критических точек:
- Для \( x = 8 \):
\[ y''(8) = 2 \times 8 = 16 > 0 \]
Это означает, что в точке \( x=8 \) функция имеет минимум.
- Для \( x = -8 \):
\[ y''(-8) = 2 \times (-8) = -16 < 0 \]
Это означает, что в точке \( x=-8 \) функция достигает максимума.
Шаг 5: Вычисляем значение функции в точках критических точек
- В точке максимума \( x = -8 \):
\[ y(-8) = 23 - 64(-8) + \frac{(-8)^3}{3} \]
Рассчитаем по частям:
\[ -64 \times (-8) = 512 \] \[ (-8)^3 = -512 \] \[ \frac{-512}{3} = -\frac{512}{3} \]
Теперь сложим все:
\[ y(-8) = 23 + 512 - \frac{512}{3} \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ 23 + 512 = 535 \] \[ y(-8) = 535 - \frac{512}{3} = \frac{535 \times 3}{3} - \frac{512}{3} = \frac{1605 - 512}{3} = \frac{1093}{3} \]
- В точке минимума \( x = 8 \):
\[ y(8) = 23 - 64 \times 8 + \frac{8^3}{3} \]
Рассчитаем:
\[ -64 \times 8 = -512 \] \[ 8^3 = 512 \] \[ \frac{512}{3} \]
Тогда:
\[ y(8) = 23 - 512 + \frac{512}{3} = (23 - 512) + \frac{512}{3} = -489 + \frac{512}{3} \]
Объединим в дроби:
\[ -489 = -\frac{1467}{3} \] \[ y(8) = -\frac{1467}{3} + \frac{512}{3} = \frac{-1467 + 512}{3} = \frac{-955}{3} \]
Ответ:
- Максимум функции достигается при \( x = -8 \), и его значение равно:
\[ \boxed{\frac{1093}{3} \approx 364.33} \]
- Минимум — при \( x=8 \), значение:
\[ \boxed{-\frac{955}{3} \approx -318.33} \]
Если нужно, я могу помочь и с графиком или более подробным объяснением.
