Ne3. Бросают игральный кубик и подбрасывают монету. Событие А: «выпало четное число и орёл», событие В: «выпало число > 4 или решка». Найдите P(AUB). коробки гаскивают
Рассмотрим задачу по частям и шаг за шагом.
Дано:
- Бросают игральный кубик и подбрасывают монету одновременно.
- Событие A: «выпало четное число и орёл».
- Событие B: «выпало число > 4 или решка».
Нужно найти вероятность объединения событий A и B: \( P(A \cup B) \).
Шаг 1. Определим пространство вероятностей
Общий эксперимент включает два элемента:
- Исходы кубика: числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Исходы монеты: Орёл (О) или Решка (Р).
Всего исходов: \( 6 \times 2 = 12 \).
Шаг 1.1. Параметры
Обозначим:
Кубик:
- Четные числа: 2, 4, 6
- Нечетные числа: 1, 3, 5
Монета:
- Орёл (О)
- Решка (Р)
Шаг 2. Определим события A и B
Событие A: «выпало четное число и орёл»
Это пары вида: (число, О), где число — четное:
- (2, О)
- (4, О)
- (6, О)
Всего 3 исхода.
Событие B: «выпало число > 4 или решка»
Пусть разберемся:
- Выпало число > 4 — то есть 5 или 6.
- Выпала решка — любая монета.
Итак, исходы S_b:
Все сочетания, где число 5 или 6 (независимо от монеты):
- (5, О), (5, Р), (6, О), (6, Р)
Все сочетания с решкой (независимо от числа):
- (1, Р), (2, Р), (3, Р), (4, Р), (5, Р), (6, Р)
Внимание! Некоторые исходы включены в оба списки, их повторять не нужно, мы будем учитывать объединение.
Шаг 3. Найдем вероятности.
Нам не нужны вероятности, только вероятность событий, так как все исходы равновероятны (по 1/12).
Нам нужно найти \( P(A \cup B) \).
По формуле:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Шаг 4. Находим \( P(A) \)
Общее число исходов: 12.
- Исходы A: (2, О), (4, О), (6, О)
Количество: 3.
\[ P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
Шаг 5. Находим \( P(B) \)
Исходы B: все исходы, где число > 4 или решка:
Число > 4: 5, 6.
- (5, О), (5, Р), (6, О), (6, Р) — 4 исхода
Решка: все с Р, кроме тех, уже учтенных (но учитывая индивидуально, не важно, чтобы не дублировать, все равно считаем сумму).
- (1, Р), (2, Р), (3, Р), (4, Р), (5, Р), (6, Р) — 6 исходов
Объединение исходов:
- Все с number > 4: 4 исхода
- Все с решкой: 6 исходов
- Возможное пересечение: (5, Р), (6, Р) — уже учтены
Количество уникальных исходов в \(B\):
- с number > 4 и любая монета: 4 исхода
- с решкой и number ≤ 4: (1, Р), (2, Р), (3, Р), (4, Р) — 4 исхода
Общее число: \(4 + 4 = 8\).
Таким образом,
\[ P(B) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
Шаг 6. Находим \( P(A \cap B) \)
Анализируем:
А = исходы с (число четное, О):
- (2, О), (4, О), (6, О)
B = исходы с число > 4 или решка:
- Включая: (5, О), (5, Р), (6, О), (6, Р), а также все с Р.
Пересечение \(A \cap B\): исходы, входящие и в A, и в B.
Исходы А: (2, О), (4, О), (6, О)
Проверим каждое в B:
(2, О): число 2 — не больше 4, и монета — орёл. Число ≤ 4 и монета — орёл. Значит, не входит в B, по условию B — число > 4 или решка.
(4, О): число 4 — не больше 4, значит не входит.
(6, О): число 6 > 4 → входит в B
Итак,
\[ A \cap B = \{ (6, О) \} \]
Количество исходов: 1.
Вероятность:
\[ P(A \cap B) = \frac{1}{12} \]
Шаг 7. Итог — найдем \( P(A \cup B) \)
По формуле:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{12} \]
Приведем к общему знаменателю — 12:
\[ \frac{3}{12} + \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3 + 8 - 1}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]
Ответ:
\[ \boxed{ P(A \cup B) = \frac{5}{6} } \]
Если потребуется дополнительное объяснение — обращайтесь!
