3. Из точки Р, находящейся на окружности, проведены хорды РК и РМ, лежащие по разные стороны от центра окружности. Найдите КРМ, если градусные меры дуг КР и РМ равны 112 и 170 соответственно

Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждый шаг. **Дано:** - Точка \( R \) находится на окружности. - Проведены две хорды: \( R K \) и \( R M \). - Хорды лежат по разные стороны от центра окружности \( O \). - Дуга \( K R \) равна 112°, дуга \( R M \) равна 170°. **Задача:** Найти угол \( K R M \). --- ### Шаг 1. Обозначение и понимание ситуации - В этой задаче важны дуги и угол между хордами. - Создадим схему и обозначим все элементы. Обозначим: - Окружность с центром \( O \). - Точку \( R \) на окружности. - Хорды \( R K \) и \( R M \), проходящие через точку \( R \). — Они лежат по разные стороны от центра, значит, они не пересекаются внутри окружности и не совместны. - Дуги \( K R \) и \( R M \) на окружности, с соответствующими градусными мерами. --- ### Шаг 2. Анализ данных Дано: - Дуга \( K R \) равна 112°. - Дуга \( R M \) равна 170°. Поскольку точки \( K \) и \( M \) — концовые точки соответствующих дуг, а \( R \) — точка на окружности, то: - Дуга \( K R \) — это дуга, которая соединяет \( K \) и \( R \), и она равна 112°. - Аналогично, дуга \( R M \) равна 170°. --- ### Шаг 3. Важное замечание Задача: найти угол \( K R M \). Обычно, угол, образованный двумя хордойи, — это угол между ними в точке \( R \), то есть угол между хордами \( R K \) и \( R M \). Этот угол — **внутренний** угол, образованный двумя хордами, исходящими из точки \( R \). --- ### Шаг 4. Связь дуг и углов - Угол между двумя хордойи, исходящими из точки \( R \), равен половине разности больших дуг, соответствующих этим хордам. Формула: \[ \angle K R M = \frac{1}{2} |\text{дуга, опережающая } K R - \text{дуга, опережающая } R M| \] Но здесь важна точность: угол между двумя хордойи с общей вершиной \( R \) равен половине разности дуг, лежащих **на окружности,** образованных продолжением этих хорд. --- ### Шаг 5. Определение дуг, связанных с точками \( K \) и \( M \) Две дуги — \( K R \) и \( R M \). Согласно условию, дуги \( K R \) — 112°, а дуги \( R M \) — 170°. При этом: - Хорды проходят через \( R \) и \( K \), \( R \) и \( M \), соответственно. - Угол \( K R M \) — это угол между хордами \( R K \) и \( R M \) в точке \( R \). --- ### Шаг 6. Использование свойства о внутреннем угле между хордами **Формула для угла между двумя хордами, выходящими из точки \( R \):** \[ \boxed{ \angle K R M = \frac{1}{2} |\text{дуга, опережающая } R M - \text{дуга, опережающая } R K| } \] Но есть важное уточнение: - Ортогональные дуги \( K R \) и \( R M \) не пересекаются внутри окружности. - Приведенные дуги — их мер, и они свойственны окружности. Логика: - Угол между хордами в точке \( R \) равен половине разницы дуг, которые **лежат на окружности** между точками \( K \) и \( M \). --- ### Шаг 7. Определение дуг, связанных с точками \( K \) и \( M \) В данной задаче: - Дуга \( K R \) равна 112°, — это дуга, включающая точки \( K \) и \( R \). - Дуга \( R M \) равна 170°, — это дуга, включающая \( R \) и \( M \). Предположим: - Дуги \( K R \) и \( R M \) — части окружности, и точка \( R \) является общей точкой. - Тогда дуги, напротив \( K R \) и \( R M \), со стороны противоположных дуг, будут соответствовать остальным дугам окружности. --- ### Шаг 8. Подсчет угла \( K R M \) По свойству: \[ \boxed{ \angle K R M = \frac{1}{2} |\text{дуга } K M - \text{дуга } R N | } \] но в задании это не указано. Известно, что: - \( \text{дуга } K R = 112^\circ \), - \( \text{дуга } R M = 170^\circ \), и предположим, что обе дуги — это дуги, соединяющие точки \( K \), \( R \), \( M \) на окружности. Цена дуг: - Общая окружность равна 360°. - Тогда дуга, кирпичом между \( K \) и \( M \), равна: \[ \text{дуга } K M = 360^\circ - (\text{дуга } K R + \text{дуга } R M) = 360^\circ - (112^\circ + 170^\circ) = 360^\circ - 282^\circ = 78^\circ \] --- ### Шаг 9. Расчет угла \( K R M \) По свойству: \[ \boxed{ \angle K R M = \frac{1}{2} |\text{дуга } K M - (\text{дуга } K R + \text{дуга } R M)| } \] или более точно: Угол между двумя хордами, исходящими из \( R \), равен половине разницы дуг, **находящихся на окружности**, образующих вместе эти хорды: \[ \angle K R M = \frac{1}{2} |\text{дуга } K M - \text{дуга } R | \] Из этого следует, что: \[ \angle K R M = \frac{1}{2} |78^\circ - 170^\circ| = \frac{1}{2} \times 92^\circ = 46^\circ \] --- ### **Ответ:** \(\boxed{ \textbf{Угол } K R M = 46^\circ }\) --- Если потребуется более глубокое объяснение или есть уточнения — обращайтесь!