высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла один из которых в 4 раза больше другого найдите острые углы данного треугольника

Дано: прямоугольный треугольник, в котором высота, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один из которых в 4 раза больше другого.

Обозначим:

• Угол при вершине \( C \) — прямой угол, \( \angle C = 90^\circ \).
• Пусть высота, проведённая к гипотенузе \( AB \), опустится из вершины \( C \) на гипотенузу в точку \( D \).

Тогда:

• Угол при вершине \( D \), который делит \( \angle C \), разделён на два угла:
  • \( \alpha \) — меньший;
  • \( 4 \alpha \) — больший (по условию, один угол в 4 раза больше другого).

Так как эти два угла вместе составляют полный прямой угол, получаем: \[ \alpha + 4\alpha = 90^\circ \implies 5\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 18^\circ. \] Следовательно: \[ \angle ADC = \alpha = 18^\circ, \] и \[ \angle CDB = 4\alpha = 72^\circ. \]

Теперь найдем остальные углы треугольника \( ABC \).

Известно, что высота \( CD \) делит гипотенузу \( AB \) на два отрезка, и в треугольниках \( ADC \) и \( CBD \) есть следующие свойства:

• В треугольниках \( ADC \) и \( CBD \) есть прямые углы при вершине \( D \), так как высота — перпендикуляр к гипотенузе.

Обозначим углы треугольника \( ABC \):

• \( \angle A \) — угол при вершине \( A \),
• \( \angle B \) — угол при вершине \( B \),
• \( \angle C = 90^\circ \).

В треугольнике \( ADC \): \[ \angle ADC = 18^\circ, \] и у нас есть: \[ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ, \] где:

• \( \angle CAD \) — угол при вершине \( A \),
• \( \angle ACD \) — угол при вершине \( C \).

Аналогично в треугольнике \( CBD \): \[ \angle CBD = 72^\circ, \] и сумма углов: \[ \angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ. \]

Но проще найти острые углы треугольника без всяких сложных расчетов, используя свойства пропорциональности в подобранных треугольниках.

Общий подход:

Из свойств высоты в прямоугольном треугольнике и деления угла, применяя тригонометрию, можно вывести, что:

\[ \text{Угол при } A = 90^\circ - 2 \alpha = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ, \] \[ \text{Угол при } B = 90^\circ - 4 \alpha = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ. \]

ИТОГ:

• Острый угол при вершине \( A \): \( \boxed{54^\circ} \),
• Острый угол при вершине \( B \): \( \boxed{18^\circ} \),
• Градус при вершине \( C \): \( 90^\circ \).

Ответ: острые углы треугольника равны 18° и 54°.

Если потребуется более подробное объяснение — я могу его дополнить!