Реши

Дана задача — это выражение, состоящее из двух дробей и их произведения. Для решения, сначала нужно упростить каждую часть.

Задача:

\[ \left(\frac{2}{5} + \frac{4}{5x}\right) \cdot \frac{4 + 2x}{25x} \]

Шаг 1: Упростим сумму в скобках:

\[ \frac{2}{5} + \frac{4}{5x} \]

Общий знаменатель — это произведение 5 и \(x\), то есть \(5x\).

Перепишем обе дроби с этим знаменателем:

\[ \frac{2x}{5x} + \frac{4}{5x} \]

Теперь сложим числители:

\[ \frac{2x + 4}{5x} \]

Шаг 2: Запишем произведение:

\[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{4 + 2x}{25x} \]

Обратите внимание, что \(4 + 2x\) можно переписать как \(2(x + 2)\), а \(2x + 4\) — как \(2(x + 2)\). Значит, числитель в первой дроби и числитель второй дроби равны — они оба равны \(2(x + 2)\).

Таким образом, упростим выражение:

\[ \frac{2(x + 2)}{5x} \times \frac{2(x + 2)}{25x} \]

Шаг 3: Перемножим числители и знаменатели:

Числитель: \(2(x + 2) \times 2(x + 2) = 4(x + 2)^2\)

Знаменатель: \(5x \times 25x = 125x^2\)

Общее выражение:

\[ \frac{4(x + 2)^2}{125x^2} \]

Это — окончательная форма упрощенного выражения.

Ответ:

\[ \boxed{\frac{4(x + 2)^2}{125x^2}} \]

Если нужно, я могу пояснить дальнейшие шаги или особенности!