Найди периметр треугольника M N K MNK , если окружность, вписанная в этот треугольник, касается его сторон в точках S S , D D и F F , при этом M S = 13 , 5 MS=13,5 , N D = 15 , 7…

Давайте разберёмся с поставленной задачей по шагам.

Дано:

• Треугольник \( M N K \).
• Вписанная окружность касается сторон в точках \( S \), \( D \), \( F \).
• Отрезки: \( M S = 13,5 \), \( N D = 15,7 \), \( K F = 23,1 \).

Задача: Найти периметр треугольника \( M N K \).

Шаг 1. Что такое вписанная окружность и точки касания?

• Вписанная окружность касается каждой стороны треугольника в точке, которая делит её на два отрезка.
• Обозначим стороны треугольника: \[ M N = a, \quad N K = b, \quad K M = c. \]
• Точки касания: \[ S \text{ — точка касания стороны } M N \text{ (точка } S \text{),} \\ D \text{ — точка касания } N K, \\ F \text{ — точка касания } K M. \]

Поскольку окружность касается стороны в точке касания, то: \[ \text{Отрезки от вершины до точки касания}: \] \[ \text{на стороне } M N: \quad M S = s_b, \quad N S = s_a, \] и так далее для других сторон.

Шаг 2. Связь между длинами касательных и сторонами

Известно свойство:
Отрезки, проведённые из вершины к точкам касания, равны для двух касательных, проведённых из одной вершины к окружности.

Обозначим: \[ \begin{cases} \text{Из вершины } M: \quad MS = s_c, \quad MF = s_b, \\ \text{Из вершины } N: \quad NS = s_a, \quad ND = s_b, \\ \text{Из вершины } K: \quad KF = s_c, \quad KD = s_a. \end{cases} \]

Однако в условии даны только длины касательных: \[ MS = 13,5, \quad ND = 15,7, \quad KF = 23,1. \]

Пусть:

• участие в стороне \( MN \) — \( s_1 \),
• \( N K \) — \( s_2 \),
• \( K M \) — \( s_3 \).

Для каждой стороны сумма касательных, проведённых из её вершин, равна длине стороны: \[ \begin{cases} a = M N = s_b + s_c, \\ b = N K = s_a + s_b, \\ c = K M = s_c + s_a. \end{cases} \]

Обозначим: \[ \begin{cases} s_a = x, \\ s_b = y, \\ s_c = z. \end{cases} \]

Тогда: \[ \begin{cases} a = y + z, \\ b = x + y, \\ c = z + x. \end{cases} \]

Из данных:

• \( M S = 13,5 \) — равно \( z \).
• \( N D = 15,7 \) — равно \( y \).
• \( K F = 23,1 \) — равно \( x \).

Значит: \[ x = 23,1, \quad y = 15,7, \quad z = 13,5. \]

Шаг 3. Вычисление сторон треугольника

Теперь найдём стороны: \[ \begin{cases} a = y + z = 15,7 + 13,5 = 29,2, \\ b = x + y = 23,1 + 15,7 = 38,8, \\ c = z + x = 13,5 + 23,1 = 36,6. \end{cases} \]

Шаг 4. Найти периметр

Периметр треугольника: \[ P = a + b + c = 29,2 + 38,8 + 36,6 = 104,6. \]

Итог:

Ответ: \(\boxed{104,6}\).

Периметр треугольника равен 104,6 единиц.