Давайте разберёмся с поставленной задачей по шагам.
Дано:
- Треугольник ( M N K ).
- Вписанная окружность касается сторон в точках ( S ), ( D ), ( F ).
- Отрезки: ( M S = 13,5 ), ( N D = 15,7 ), ( K F = 23,1 ).
Задача: Найти периметр треугольника ( M N K ).
Шаг 1. Что такое вписанная окружность и точки касания?
- Вписанная окружность касается каждой стороны треугольника в точке, которая делит её на два отрезка.
- Обозначим стороны треугольника:
[
M N = a, \quad N K = b, \quad K M = c.
]
- Точки касания:
[
S \text{ — точка касания стороны } M N \text{ (точка } S \text{),} \
D \text{ — точка касания } N K, \
F \text{ — точка касания } K M.
]
Поскольку окружность касается стороны в точке касания, то:
[
\text{Отрезки от вершины до точки касания}:
]
[
\text{на стороне } M N: \quad M S = s_b, \quad N S = s_a,
]
и так далее для других сторон.
Шаг 2. Связь между длинами касательных и сторонами
Известно свойство:
Отрезки, проведённые из вершины к точкам касания, равны для двух касательных, проведённых из одной вершины к окружности.
Обозначим:
[
\begin{cases}
\text{Из вершины } M: \quad MS = s_c, \quad MF = s_b, \
\text{Из вершины } N: \quad NS = s_a, \quad ND = s_b, \
\text{Из вершины } K: \quad KF = s_c, \quad KD = s_a.
\end{cases}
]
Однако в условии даны только длины касательных:
[
MS = 13,5, \quad ND = 15,7, \quad KF = 23,1.
]
Пусть:
- участие в стороне ( MN ) — ( s_1 ),
- ( N K ) — ( s_2 ),
- ( K M ) — ( s_3 ).
Для каждой стороны сумма касательных, проведённых из её вершин, равна длине стороны:
[
\begin{cases}
a = M N = s_b + s_c, \
b = N K = s_a + s_b, \
c = K M = s_c + s_a.
\end{cases}
]
Обозначим:
[
\begin{cases}
s_a = x, \
s_b = y, \
s_c = z.
\end{cases}
]
Тогда:
[
\begin{cases}
a = y + z, \
b = x + y, \
c = z + x.
\end{cases}
]
Из данных:
- ( M S = 13,5 ) — равно ( z ).
- ( N D = 15,7 ) — равно ( y ).
- ( K F = 23,1 ) — равно ( x ).
Значит:
[
x = 23,1, \quad y = 15,7, \quad z = 13,5.
]
Шаг 3. Вычисление сторон треугольника
Теперь найдём стороны:
[
\begin{cases}
a = y + z = 15,7 + 13,5 = 29,2, \
b = x + y = 23,1 + 15,7 = 38,8, \
c = z + x = 13,5 + 23,1 = 36,6.
\end{cases}
]
Шаг 4. Найти периметр
Периметр треугольника:
[
P = a + b + c = 29,2 + 38,8 + 36,6 = 104,6.
]
Итог:
Ответ: (\boxed{104,6}).
Периметр треугольника равен 104,6 единиц.
