Sin7x+sin3x=2sin5x

Давайте решим уравнение: \[ \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin 5x \] Цель — понять, как это решить пошагово. --- ### Шаг 1. Используем тригонометрические формулы суммы синусов Для упрощения выражения применим формулу суммы синусов: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Применим её к левому выражению: \[ \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin \left(\frac{7x + 3x}{2}\right) \cos \left(\frac{7x - 3x}{2}\right) \] \[ = 2 \sin (5x) \cos (2x) \] Теперь уравнение становится: \[ 2 \sin (5x) \cos (2x) = 2 \sin (5x) \] --- ### Шаг 2. Упростим уравнение Разделим обе части на 2: \[ \sin (5x) \cos (2x) = \sin (5x) \] Рассмотрим случаи: #### Случай 1: \(\sin (5x) \neq 0\) Тогда можно поделить обе части на \(\sin (5x)\): \[ \cos (2x) = 1 \] Квадратическое уравнение тригонометрической функции: \[ \cos (2x) = 1 \] Решение: \[ 2x = 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} \] Отсюда: \[ x = k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} \] --- #### Случай 2: \(\sin (5x) = 0\) Тогда исходное уравнение выполнено независимо от \(\cos(2x)\). Решим: \[ \sin (5x) = 0 \] \[ 5x = m\pi,\quad m \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{m\pi}{5} \] --- ### **Ответ:** \[ x = k \pi,\quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ x = \frac{m\pi}{5},\quad m \in \mathbb{Z} \] --- ### **Итог:** Все решения — это либо: - \(x\) кратно \(\pi\), - или \(x\) кратно \(\frac{\pi}{5}\). Это полное решение уравнения.