sin7x+sin3x=2sin5x

Давайте решим уравнение:
\[ \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin 5x \]

Цель — понять, как это решить пошагово.

Шаг 1. Используем тригонометрические формулы суммы синусов

Для упрощения выражения применим формулу суммы синусов: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \]

Применим её к левому выражению: \[ \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin \left(\frac{7x + 3x}{2}\right) \cos \left(\frac{7x - 3x}{2}\right) \] \[ = 2 \sin (5x) \cos (2x) \]

Теперь уравнение становится: \[ 2 \sin (5x) \cos (2x) = 2 \sin (5x) \]

Шаг 2. Упростим уравнение

Разделим обе части на 2: \[ \sin (5x) \cos (2x) = \sin (5x) \]

Рассмотрим случаи:

Случай 1: \(\sin (5x) \neq 0\)

Тогда можно поделить обе части на \(\sin (5x)\): \[ \cos (2x) = 1 \]

Квадратическое уравнение тригонометрической функции: \[ \cos (2x) = 1 \]

Решение: \[ 2x = 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} \]

Отсюда: \[ x = k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \(\sin (5x) = 0\)

Тогда исходное уравнение выполнено независимо от \(\cos(2x)\).
Решим: \[ \sin (5x) = 0 \]

\[ 5x = m\pi,\quad m \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{m\pi}{5} \]

Ответ:

\[ x = k \pi,\quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ x = \frac{m\pi}{5},\quad m \in \mathbb{Z} \]

Итог:

Все решения — это либо:

• \(x\) кратно \(\pi\),
• или \(x\) кратно \(\frac{\pi}{5}\).

Это полное решение уравнения.